Exercice 28

1. (a) Sur $]-\infty\,;2[$, $f$ coïncide avec la fonction polynôme $x\mapsto x^{2}+1$, donc $f$ y est continue. Sur $]2\,;+\infty[$, $f$ coïncide avec la fonction affine $x\mapsto ax-3$, donc $f$ y est également continue, et ce $\boxed{\text{quelle que soit la valeur de } a.}$

Le seul point susceptible de poser problème est donc $x=2$, où l'expression change.

(b) D'une part, comme la première expression est valable pour $x\leqslant 2$ : $$f(2)=2^{2}+1=5 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5$$ D'autre part : $$\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}(ax-3)=2a-3$$ La fonction $f$ est continue en $2$ si et seulement si ces deux limites coïncident avec $f(2)$ : $$2a-3=5 \iff 2a=8 \iff \boxed{a=4}$$

2. (a) Pour $x\neq 2$ : $$g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\boxed{x+2}$$

(b) On en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to 2} g(x)=4$. La fonction $g$ est continue en $2$ si et seulement si $g(2)=\lim\limits_{x\to 2} g(x)$, c'est-à-dire $$\boxed{m=4}$$ On remarque que l'on a ainsi « prolongé par continuité » la fonction : avec $m=4$, $g$ n'est autre que la fonction affine $x\mapsto x+2$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.