Exercice 1

1. Le point $E$ n'appartient pas au plan $(ABD)$, qui est la face inférieure du cube : les quatre points $A$, $B$, $D$ et $E$ ne sont donc pas coplanaires, et $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ est bien un repère de l'espace.

L'arête du cube valant $1$, les trois vecteurs sont de norme $1$ ; ils portent par ailleurs trois arêtes issues du même sommet d'un cube, donc sont orthogonaux deux à deux. $$\boxed{\text{Le repère est orthonormé.}}$$

2. On lit les coordonnées en décomposant chaque vecteur $\overrightarrow{AM}$ sur la base :

• $A(0\,;0\,;0)$

• $B(1\,;0\,;0)$

• $C(1\,;1\,;0)$

• $D(0\,;1\,;0)$

• $E(0\,;0\,;1)$

• $F(1\,;0\,;1)$

• $G(1\,;1\,;1)$

• $H(0\,;1\,;1)$

Repère de lecture : la première coordonnée se déplace de $A$ vers $B$, la deuxième de $A$ vers $D$, la troisième de $A$ vers $E$. Les quatre sommets du bas ont donc une cote nulle, les quatre du haut une cote égale à $1$.

3. Un milieu s'obtient en faisant la moyenne des coordonnées.

(a) $I$ est le milieu de $[EG]$ : $\;\boxed{I\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;1\right)}$

(b) $\Omega$ est le milieu de $[AG]$ : $\;\boxed{\Omega\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)}$

(c) $J$ est le milieu de $[BC]$ : $\;\boxed{J\left(1\,;\dfrac{1}{2}\,;0\right)}$

(d) $K$ est le milieu de $[CG]$ : $\;\boxed{K\left(1\,;1\,;\dfrac{1}{2}\right)}$

4. $\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $(1\,;1\,;1)$, donc $\overrightarrow{AL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\right)$. Comme $A$ est l'origine : $$\boxed{L\left(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\right)}$$