Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 4

Géométrie dans l'espace

38 exercices corrigés · 13 19 4 2

Repères, bases et coordonnées

Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d'arête 1. On munit l'espace du repère (A;overrightarrow AB,overrightarrow AD,overrightarrow AE). 1. Justifier que…
Exercice 2 On reprend le cube de l'exercice 1 et la base (overrightarrow AB,overrightarrow AD,overrightarrow AE). Décomposer sur cette base chacun des vecteurs…
Exercice 3 L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne les points A(1;-2;3) B(4;0;-1) C(-2;5;2) D(0;1;1) 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs…
Exercice 4 1. Dans chaque cas, dire si les vecteurs vec u et vec v sont colinéaires. a) vec ubegin pmatrix2-13end pmatrix, vec vbegin pmatrix-63-9end pmatrix…
Exercice 5 On appliquera la méthode du cours: vérifier d'abord que deux d'entre eux, par exemple vec v et vec w, ne sont pas colinéaires entre eux; écrire…

Exercice 6 L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne vec ubegin pmatrix2-13end pmatrix vec vbegin pmatrix14-2end pmatrix vec wbegin pmatrix031end…
Exercice 7 1. Dans chaque cas, les vecteurs vec u et vec v sont-ils orthogonaux ? a) vec ubegin pmatrix12-1end pmatrix, vec vbegin pmatrix3-11end pmatrix b)…
Exercice 8 L'espace est muni d'un repère orthonormé. 1. On donne A(0;0;0), B(2;1;2) et C(1;2;-2). Calculer AB, AC et BC, puis overrightarrow AB·overrightarrow…
Exercice 9 Dans cet exercice, aucune coordonnée n'est donnée: on utilisera uniquement les identités liées à la norme. 1. Soient vec u et vec v tels que |vec…
Exercice 10 On reprend le cube ABCDEFGH d'arête 1 et le repère orthonormé (A;overrightarrow AB,overrightarrow AD,overrightarrow AE). 1. Calculer overrightarrow…

Exercice 11 On reprend le cube ABCDEFGH. Pour chacun des couples de droites suivants, dire si les deux droites sont coplanaires ou non. Lorsqu'elles le sont,…
Exercice 12 Cet exercice est entièrement graphique. On représentera un plan par un parallélogramme, et l'on fera systématiquement apparaître en pointillés les…
Exercice 13 ABCDEFGH est un pavé droit tel que AB=4, AD=3 et AE=2 (en centimètres). Les sommets sont disposés comme sur le cube des exercices précédents. 1.…

Exercice 14 Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du plan décrit. 1. Le plan passant par A(1;2;-1) et de vecteur normal vec nbegin pmatrix2-13end…
Exercice 15 On considère le plan P d'équation cartésienne 3x-2y+z-6=0. 1. Donner un vecteur normal à P. 2. Les points A(1;0;3), B(2;1;1) et C(0;-3;0)…
Exercice 16 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A(2;1;-3) et de vecteur directeur vec ubegin pmatrix1-24end pmatrix. 2.…
Exercice 17 Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan défini par trois points, on cherche un vecteur normal vec nbegin pmatrixab c end pmatrix…
Exercice 18 On considère les points A(1;-1;2), B(3;0;1) et C(-1;-2;3). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). 2. Le point C…

Exercice 19 Dans chaque cas, déterminer la position relative de la droite D et du plan P. Lorsqu'ils sont sécants, déterminer les coordonnées de leur point…
Exercice 20 Dans chaque cas, déterminer la position relative des plans P et P'. 1. P: 2x-y+3z-1=0 et P': -4x+2y-6z+5=0 2. P: x+y-z+2=0 et P': 2x-y+z-3=0 3. P:…
Exercice 21 On considère les quatre droites suivantes: D_1: begin cases x=1+t y=t z=2-t end cases D_2: begin cases x=2+s y=1+2s z=1+s end cases D_3: begin cases…
Exercice 22 On considère les plans P: x+y+z-3=0 et P': x-y+2z-1=0. 1. Justifier que P et P' sont sécants. 2. Un point M(x;y;z) appartient à leur intersection si…

Exercice 23 Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point M sur le plan P, puis la distance MH. On appliquera la méthode en…
Exercice 24 1. À l'aide de la formule directe du cours, calculer la distance du point M au plan P dans chacun des cas suivants: (a) M(1;1;1) et P: 2x-y+2z-3=0.…
Exercice 25 On reprend le cube ABCDEFGH d'arête 1 et le repère orthonormé (A;overrightarrow AB,overrightarrow AD,overrightarrow AE). 1. En utilisant le résultat…

Exercice 26 · Type Bac ABCDEFGH est un cube d'arête 1. On se place dans le repère orthonormé (A;overrightarrow AB,overrightarrow AD,overrightarrow AE). On note I le milieu…
Exercice 27 · Type Bac L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(1;0;2) B(0;1;4) C(2;1;2) et le plan P d'équation cartésienne 2x+y-z+3=0. 1.…
Exercice 28 · Type Bac L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(1;1;0) B(3;0;0) C(2;3;5) D(2;1;-1) ainsi que le plan P d'équation cartésienne…
Exercice 29 · Type Bac L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites D et D' de représentations paramétriques respectives: D: begin cases x=2+t y=1-t…
Exercice 30 Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.
Exercice 31 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'énoncé correct. 1.…
Exercice 32 · Les sphères Cet exercice introduit une notion qui ne figure pas au programme, mais qui se déduit entièrement de la formule de distance entre deux points:…
Exercice 33 · Sphères et plans On réutilise dans cet exercice la notion introduite à l'exercice 32. L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère l'ensemble S des points…
Exercice 34 L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;vec imath,vec jmath,vec k). On considère les points A(1;0;0) B(0;2;0) C(0;0;3) 1. Justifier que O, A, B…

Exercice 35 L'inégalité de Cauchy-Schwarz. 1. Soient vec u et vec v deux vecteurs de l'espace, avec vec u≠vec 0. En étudiant le signe de la fonction f définie…
Exercice 36 Médianes d'un triangle, médianes d'un tétraèdre. 1. Soient A, B, C trois points non alignés de l'espace et I le milieu de [BC]. Déduire de…
Exercice 37 Puissance d'un point par rapport à une sphère. Soient S la sphère de centre O et de rayon R (exercice 32), et A un point de l'espace. On mène par A…
Exercice 38 Droite d'Euler d'un triangle, point de Monge d'un tétraèdre. 1. Soient ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. On définit le point…