Exercice 24

1. (a) $d=\dfrac{|2-1+2-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{0}{3}=\boxed{0}$.

Une distance nulle signifie que $\boxed{M \text{ appartient au plan.}}$

(b) $d=\dfrac{|0-0+10|}{\sqrt{9+0+16}}=\dfrac{10}{5}=\boxed{2}$

(c) $d=\dfrac{|2+6+2+1|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{11}{3}=\boxed{\dfrac{11}{3}}$

2. Reprenons les trois cas de l'exercice 23 : $$\frac{|1-4+6-5|}{3}=\frac{2}{3} \qquad \frac{|0+0-0+6|}{3}=2 \qquad \frac{|2-1+4-1|}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

3. Un point de l'axe $(Oz)$ s'écrit $M(0\,;0\,;z)$. La condition s'écrit : $$\frac{|0+0+2z-1|}{\sqrt{1+4+4}}=2 \iff |2z-1|=6 \iff 2z-1=6 \text{ ou } 2z-1=-6$$

$$\boxed{\left(0\,;0\,;\frac{7}{2}\right) \quad\text{et}\quad \left(0\,;0\,;-\frac{5}{2}\right)}$$ Il y a bien deux solutions : les deux points sont de part et d'autre du plan.

4. La formule donne uniquement la longueur $MH$, sans jamais faire intervenir les coordonnées de $H$. Pour obtenir le point lui-même, il faut construire la droite passant par $M$ et dirigée par $\vec{n}$, puis chercher son intersection avec le plan : c'est la méthode en quatre étapes, seule capable de fournir $H$.