ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Projeté orthogonal et distance à un plan

Exercice 23

Calcul

Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ , puis la distance $MH$ . On appliquera la méthode en quatre étapes du cours, et l'on calculera la distance à l'aide de la relation $\overrightarrow{MH}=t\,\vec{n}$ .

1. $M(1\,;2\,;3)$ et $\mathcal{P} : x-2y+2z-5=0$

2. $M(0\,;0\,;0)$ et $\mathcal{P} : 2x+y-2z+6=0$

3. $M(2\,;-1\,;4)$ et $\mathcal{P} : x+y+z-1=0$

Corrigé

1. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ . La droite passant par $M$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(1+t\,;2-2t\,;3+2t)$ . En reportant dans l'équation du plan : $(1+t)-2(2-2t)+2(3+2t)-5=9t-2=0 \iff t=\frac{2}{9}$

\boxed{H\left(\frac{11}{9}\,;\frac{14}{9}\,;\frac{31}{9}\right)} \qquad\text{et}\qquad MH=|t|\times\|\vec{n}\|=\frac{2}{9}\times 3=\boxed{\frac{2}{3}}

2. $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ , droite $(2t\,;t\,;-2t)$ : $4t+t+4t+6=9t+6=0 \iff t=-\frac{2}{3}$

\boxed{H\left(-\frac{4}{3}\,;-\frac{2}{3}\,;\frac{4}{3}\right)} \qquad\text{et}\qquad MH=\frac{2}{3}\times 3=\boxed{2}

3. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ , droite $(2+t\,;-1+t\,;4+t)$ : $(2+t)+(-1+t)+(4+t)-1=3t+4=0 \iff t=-\frac{4}{3}$

\boxed{H\left(\frac{2}{3}\,;-\frac{7}{3}\,;\frac{8}{3}\right)} \qquad\text{et}\qquad MH=\frac{4}{3}\times\sqrt{3}=\boxed{\frac{4\sqrt{3}}{3}}

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

coordonnées, orthogonalité, projeté orthogonal

Notions

produit scalaire