Exercice 22

1. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{n}'\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires : $$\boxed{\text{les deux plans sont sécants, et leur intersection est une droite.}}$$

2. Avec $z=t$, le système devient : $$\begin{cases} x+y=3-t \\ x-y=1-2t \end{cases}$$ En additionnant : $2x=4-3t$, donc $x=2-\dfrac{3}{2}t$. En soustrayant : $2y=2+t$, donc $y=1+\dfrac{1}{2}t$.

3. $\boxed{\Delta : \begin{cases}x=2-\frac{3}{2}t\\[1mm] y=1+\frac{1}{2}t\\[1mm] z=t \end{cases}}$

En posant $t=2t'$ pour éliminer les fractions, on obtient la représentation plus commode $$\left(2-3t'\,;\ 1+t'\,;\ 2t'\right)$$ d'où le vecteur directeur $\;\boxed{\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}}$

4. $\vec{u}\cdot\vec{n}=-3+1+2=0$ et $\vec{u}\cdot\vec{n}'=-3-1+4=0$.

C'était prévisible : $\Delta$ est contenue dans chacun des deux plans, donc $\vec{u}$ est un vecteur de chacun d'eux, et il est par définition orthogonal à leurs vecteurs normaux.

5. $K(-1\,;2\,;2)$ : avec la seconde représentation, $2t'=2$ donne $t'=1$, et l'on vérifie $2-3=-1$ et $1+1=2$. $$\boxed{K \text{ appartient à } \Delta.}$$ Vérification directe : $-1+2+2-3=0$ et $-1-2+4-1=0$.