ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Positions relatives

Exercice 21

Calcul

On considère les quatre droites suivantes : $\mathcal{D}_{1} : \begin{cases} x=1+t \\ y=t \\ z=2-t \end{cases} \qquad \mathcal{D}_{2} : \begin{cases} x=2+s \\ y=1+2s \\ z=1+s \end{cases} \qquad \mathcal{D}_{3} : \begin{cases} x=s \\ y=1+s \\ z=s \end{cases} \qquad \mathcal{D}_{4} : \begin{cases} x=3-2s \\ y=-2s \\ z=4+2s \end{cases}$

1. Donner un vecteur directeur et un point de chacune de ces quatre droites.

2. Déterminer la position relative de $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ .

3. Déterminer la position relative de $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{3}$ .

4. Déterminer la position relative de $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{4}$ .

5. Résumer dans un tableau les trois positions relatives rencontrées.

Corrigé

1. On lit directement dans les représentations paramétriques :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \mathcal{D}_{1} & \mathcal{D}_{2} & \mathcal{D}_{3} & \mathcal{D}_{4} \\ \hline \text{Point} & A(1\,;0\,;2) & B(2\,;1\,;1) & C(0\,;1\,;0) & E(3\,;0\,;4) \\ \hline \text{Vecteur directeur} & \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix} \\ \hline \end{array}

2. Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Cherchons un point commun : $\begin{cases} 1+t=2+s \\ t=1+2s \\ 2-t=1+s \end{cases}$ En reportant $t=1+2s$ dans la première : $2+2s=2+s$ , soit $s=0$ , donc $t=1$ . On teste dans la troisième : $2-1=1$ et $1+0=1$ , égalité vérifiée. $\boxed{\mathcal{D}_{1} \text{ et } \mathcal{D}_{2} \text{ sont sécantes en } (2\,;1\,;1).}$

3. Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Cherchons un point commun : $\begin{cases} 1+t=s \\ t=1+s \\ 2-t=s \end{cases}$ La première donne $s=1+t$ , que l'on reporte dans la deuxième : $t=1+1+t$ , soit $0=2$ , ce qui est impossible. Il n'existe aucun point commun. $\boxed{\mathcal{D}_{1} \text{ et } \mathcal{D}_{3} \text{ sont non coplanaires.}}$

4. Le vecteur directeur de $\mathcal{D}_{4}$ vaut $-2$ fois celui de $\mathcal{D}_{1}$ : les droites sont parallèles. Le point $E(3\,;0\,;4)$ appartient-il à $\mathcal{D}_{1}$  ? La première équation donne $1+t=3$ , soit $t=2$ , mais alors $y=2\neq 0$ . $\boxed{\mathcal{D}_{1} \text{ et } \mathcal{D}_{4} \text{ sont strictement parallèles.}}$

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Couple} & \text{Directeurs colinéaires ?} & \text{Point commun ?} & \text{Position relative} \\ \hline \mathcal{D}_{1},\mathcal{D}_{2} & \text{non} & \text{oui} & \text{sécantes (coplanaires)} \\ \hline \mathcal{D}_{1},\mathcal{D}_{3} & \text{non} & \text{non} & \text{non coplanaires} \\ \hline \mathcal{D}_{1},\mathcal{D}_{4} & \text{oui} & \text{non} & \text{strictement parallèles} \\ \hline \end{array}

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