Exercice 26 Type Bac

Partie A

1. $I$ est le milieu de $[EF]$ avec $E(0\,;0\,;1)$ et $F(1\,;0\,;1)$, et $J$ celui de $[FG]$ avec $G(1\,;1\,;1)$ : $$\boxed{I\left(\frac{1}{2}\,;0\,;1\right) \qquad J\left(1\,;\frac{1}{2}\,;1\right)}$$

2. $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix}$, d'où $$AI=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\boxed{\frac{\sqrt{5}}{2}} \qquad AJ=\sqrt{1+\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\boxed{\frac{3}{2}} \qquad IJ=\sqrt{\frac{1}{2}}=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

3. $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}+0+1=\boxed{\dfrac{3}{2}}$, d'où $$\cos\left(\widehat{IAJ}\right)=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times\frac{3}{2}} =\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{\widehat{IAJ}\approx 27^{\circ}}$$

Partie B

4. $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}$ ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée est nulle pour l'un et pas pour l'autre. Les trois points ne sont donc pas alignés et définissent un plan.

5. $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AI}=2\times\dfrac{1}{2}-2\times 0-1\times 1=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AJ}=2-2\times\dfrac{1}{2}-1=0$.

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc à tout vecteur du plan : $$\boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix} \text{ est un vecteur normal au plan } (AIJ).}$$

6. L'équation est de la forme $2x-2y-z+d=0$, et le plan passe par $A(0\,;0\,;0)$, donc $d=0$ : $$\boxed{(AIJ) : 2x-2y-z=0}$$ Vérifications : $I$ donne $1-0-1=0$ et $J$ donne $2-1-1=0$.

Partie C

7. $d\big(G,(AIJ)\big)=\dfrac{|2-2-1|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{1}{3}}$

8. La droite passant par $G(1\,;1\,;1)$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(1+2t\,;1-2t\,;1-t)$. En reportant : $$2(1+2t)-2(1-2t)-(1-t)=9t-1=0 \iff t=\frac{1}{9}$$

$$\boxed{H\left(\frac{11}{9}\,;\frac{7}{9}\,;\frac{8}{9}\right)}$$ Vérification : $GH=|t|\times\|\vec{n}\|=\frac{1}{9}\times 3=\frac{1}{3}$, ce qui confirme la question 7.

9. $\overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{DG}=2-0-1=1\neq 0$ : la droite et le plan sont sécants. La droite $(DG)$ a pour représentation paramétrique $(t\,;1\,;t)$, et en reportant : $$2t-2-t=0 \iff t=2$$

$$\boxed{(DG) \text{ perce le plan } (AIJ) \text{ au point } (2\,;1\,;2).}$$ On remarque que ce point est situé à l'extérieur du cube : c'est la droite $(DG)$ tout entière, et non le segment $[DG]$, qui rencontre le plan.