Exercice 27 Type Bac

1. $B(0\,;1\,;4)$ : $0+1-4+3=0$, donc $\boxed{B\in\mathcal{P}}$.

$A(1\,;0\,;2)$ : $2+0-2+3=3\neq 0$ et $C(2\,;1\,;2)$ : $4+1-2+3=6\neq 0$.

2. $\|\vec{n}\|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$, donc $$d(A,\mathcal{P})=\frac{3}{\sqrt{6}}=\boxed{\frac{\sqrt{6}}{2}} \qquad\text{et}\qquad d(C,\mathcal{P})=\frac{6}{\sqrt{6}}=\boxed{\sqrt{6}}$$

3. Les deux quantités $2x+y-z+3$ valent respectivement $3$ et $6$ : elles sont de même signe. $$\boxed{A \text{ et } C \text{ sont situés du même côté du plan.}}$$

4. La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(1+2t\,;t\,;2-t)$. En reportant : $$2(1+2t)+t-(2-t)+3=6t+3=0 \iff t=-\frac{1}{2}$$

$$\boxed{H\left(0\,;-\frac{1}{2}\,;\frac{5}{2}\right)}$$ Vérification : $AH=|t|\times\|\vec{n}\|=\frac{1}{2}\sqrt{6}$, conforme à la question 2.

5. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, donc $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-1+1+0=\boxed{0}$$

$$\boxed{ABC \text{ est un triangle rectangle en } A.}$$ Son aire vaut alors $\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{6}\times\sqrt{2}}{2} =\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\boxed{\sqrt{3}}$.

6. $(AC) : (1+t\,;t\,;2)$. Comme $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2+1-0=3\neq 0$, la droite et le plan sont sécants : $$2(1+t)+t-2+3=3t+3=0 \iff t=-1$$