Exercice 28 Type Bac

Partie A

1. $A(1\,;1\,;0)$ : $1+2-0-3=0$ ; $B(3\,;0\,;0)$ : $3+0-0-3=0$ ; $C(2\,;3\,;5)$ : $2+6-5-3=0$. $$\boxed{\text{Les trois points appartiennent à } \mathcal{P}.}$$

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée est nulle pour l'un et pas pour l'autre) : $$\boxed{A,\ B \text{ et } C \text{ ne sont pas alignés.}}$$

3. Trois points non alignés définissent un unique plan. Ces trois points appartenant à $\mathcal{P}$ : $$\boxed{\mathcal{P} \text{ est le plan } (ABC).}$$

4. $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2-2+0=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=1+4-5=0$.

$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc à tout vecteur de ce plan : $$\boxed{\vec{n} \text{ est un vecteur normal au plan } (ABC).}$$

Partie B

5. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-2+0=\boxed{0}$, donc $\boxed{ABC \text{ est rectangle en } A.}$

6. $AB=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $AC=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$, $BC=\left\|\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{35}$.

Or $AB^{2}+AC^{2}=5+30=35=BC^{2}$ : la réciproque du théorème de Pythagore confirme que le triangle est rectangle en $A$.

7. $\text{Aire}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{30}}{2} =\dfrac{\sqrt{150}}{2}=\boxed{\dfrac{5\sqrt{6}}{2}}$

Partie C

8. $D(2\,;1\,;-1)$ : $2+2+1-3=2\neq 0$, donc $D\notin(ABC)$. De plus $$d\big(D,(ABC)\big)=\frac{|2|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}$$

9. La droite passant par $D$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(2+t\,;1+2t\,;-1-t)$. En reportant : $$(2+t)+2(1+2t)-(-1-t)-3=6t+2=0 \iff t=-\frac{1}{3}$$

$$\boxed{H\left(\frac{5}{3}\,;\frac{1}{3}\,;-\frac{2}{3}\right)}$$ Vérification : $DH=\frac{1}{3}\times\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

10. En prenant $ABC$ pour base et $DH$ pour hauteur : $$V=\frac{1}{3}\times\frac{5\sqrt{6}}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{3} =\frac{1}{3}\times\frac{5\times 6}{6}=\boxed{\frac{5}{3}}$$