Exercice 29 Type Bac

Partie A

1. $\mathcal{D}$ passe par $A(2\,;1\,;3)$ et est dirigée par $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ; $\mathcal{D}'$ passe par $B(1\,;0\,;0)$ et est dirigée par $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.

2. Le coefficient de proportionnalité serait $2$ d'après les premières coordonnées, mais $2\times(-1)=-2\neq -1$ : $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.}}$$

3. Cherchons un point commun : $$\begin{cases} 2+t=1+2s \\ 1-t=-s \\ 3+2t=s \end{cases}$$ La deuxième donne $t=1+s$. En reportant dans la première : $3+s=1+2s$, soit $s=2$ et $t=3$. On teste dans la troisième : $3+6=9$, alors qu'il faudrait obtenir $s=2$. $$\boxed{\text{Le système n'a pas de solution : les droites ne sont pas sécantes.}}$$

4. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes : $$\boxed{\mathcal{D} \text{ et } \mathcal{D}' \text{ sont non coplanaires.}}$$

Partie B

5. On cherche $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que : $$\begin{cases} a-b+2c=0 \\ 2a-b+c=0 \end{cases}$$ En soustrayant la première de la seconde : $a-c=0$, donc $a=c$. La première donne alors $b=a+2c=3a$. En choisissant $a=1$ : $$\boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$$ Vérifications : $1-3+2=0$ et $2-3+1=0$.

6. L'équation est de la forme $x+3y+z+d=0$, et avec $A(2\,;1\,;3)$ : $2+3+3+d=0$ : $$\boxed{\mathcal{Q} : x+3y+z-8=0}$$

7. Un point quelconque de $\mathcal{D}$ s'écrit $(2+t\,;1-t\,;3+2t)$. En reportant : $$(2+t)+3(1-t)+(3+2t)-8=2+t+3-3t+3+2t-8=0$$ Le paramètre $t$ disparaît et l'égalité est vraie pour tout $t$ : $$\boxed{\mathcal{D} \text{ est entièrement contenue dans } \mathcal{Q}.}$$

8. $\vec{v}\cdot\vec{n}=2-3+1=0$, donc $\mathcal{D}'$ est parallèle à $\mathcal{Q}$ ou contenue dedans. Or $B(1\,;0\,;0)$ donne $1+0+0-8=-7\neq 0$ : $$\boxed{\mathcal{D}' \text{ est strictement parallèle à } \mathcal{Q}.}$$

Partie C

9. $d(B,\mathcal{Q})=\dfrac{|1+0+0-8|}{\sqrt{1+9+1}}=\dfrac{7}{\sqrt{11}} =\boxed{\dfrac{7\sqrt{11}}{11}}$

10. La droite passant par $B$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(1+t\,;3t\,;t)$. En reportant : $$(1+t)+9t+t-8=11t-7=0 \iff t=\frac{7}{11}$$

$$\boxed{H\left(\frac{18}{11}\,;\frac{21}{11}\,;\frac{7}{11}\right)}$$ Vérification : $BH=\frac{7}{11}\times\sqrt{11}=\frac{7\sqrt{11}}{11}$.

11. La droite $\mathcal{D}'$ étant parallèle au plan $\mathcal{Q}$, tous ses points sont à la même distance de ce plan. En effet, si $M$ et $M'$ sont deux points de $\mathcal{D}'$, le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est colinéaire à $\vec{v}$, donc orthogonal à $\vec{n}$ : la quantité $x+3y+z-8$ prend la même valeur en $M$ et en $M'$. $$\boxed{\text{Cette distance commune vaut } \frac{7\sqrt{11}}{11}.}$$