ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Exercices de synthèse

Exercice 30

QCMDémonstrationCalcul

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\\2\end{pmatrix}$ sont	colinéaires	orthogonaux	ni l'un ni l'autre
2. Le produit scalaire de $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$ vaut	$0$	$4$	$5$
3. La norme du vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$ vaut	$7$	$11$	$\sqrt{11}$
4. Un vecteur normal au plan d'équation $x-3y+2z-1=0$ est	$\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$
5. Le plan d'équation $2x-y+z=0$ passe par le point	$(1\,;1\,;1)$	$(1\,;2\,;0)$	$(0\,;1\,;2)$
6. La droite de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=3\end{cases}$ a pour vecteur directeur	$\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
7. La distance de l'origine au plan d'équation $x+2y+2z-9=0$ vaut	$3$	$9$	$1$
8. Deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles sont	nécessairement sécantes	nécessairement non coplanaires	sécantes ou non coplanaires

Corrigé

1. Réponse A. $\vec{v}=-2\,\vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires. Leur produit scalaire vaut $-2-8-2=-12\neq 0$ , ils ne sont donc pas orthogonaux.

2. Réponse A. $1\times 2+0\times 3+2\times(-1)=2-2=0$ .

3. Réponse A. $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$ .

4. Réponse A. Les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ dans l'équation donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal.

5. Réponse B. $2\times 1-2+0=0$ , donc $(1\,;2\,;0)$ appartient au plan. Les deux autres points donnent respectivement $2-1+1=2$ et $0-1+2=1$ , tous deux non nuls.

6. Réponse B. On lit les coefficients du paramètre $t$ : $2$ , $-1$ et $0$ .

7. Réponse A. $\dfrac{|0+0+0-9|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{9}{3}=3$ .

8. Réponse C. C'est la nouveauté de la géométrie de l'espace : deux droites non parallèles peuvent être sécantes, mais aussi non coplanaires.

Énoncé PDF, p. 12 Corrigé PDF, p. 23 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

colinéarité, coplanarité, produit scalaire, orthogonalité, norme et distance, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, positions relatives

Notions

famille libre, norme, produit scalaire