Exercice 31

1. Fausse. Contre-exemple : $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$ et $\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ sont deux à deux non colinéaires, mais tous trois coplanaires. Énoncé correct : il faut que les trois vecteurs ne soient pas coplanaires.

2. Fausse. Contre-exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ sont non nuls et de produit scalaire nul. Un produit scalaire nul traduit l'orthogonalité, pas la nullité.

3. Vraie. Deux plans sont soit confondus, soit strictement parallèles, soit sécants selon une droite. N'ayant aucun point commun, ils ne peuvent être ni confondus ni sécants.

4. Fausse. Contre-exemple : les droites $(AB)$ et $(CG)$ d'un cube n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires.

5. Vraie. Si $\vec{n}$ est normal à un plan, tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{n}$ l'est aussi : il y en a une infinité.

6. Fausse. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, selon le point et le vecteur directeur choisis.

7. Vraie. Deux droites sécantes d'un plan fournissent deux vecteurs directeurs non colinéaires. Tout vecteur du plan étant combinaison linéaire de ces deux-là, une droite orthogonale aux deux est orthogonale à tous les vecteurs du plan : c'est la définition d'un vecteur normal.

8. Fausse. En élevant au carré, la condition s'écrit $\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} =\|\vec{u}\|^{2}+2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|+\|\vec{v}\|^{2}$, soit $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$ : le cosinus de l'angle vaut $1$, les vecteurs sont donc colinéaires et de même sens, et non orthogonaux.