ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Exercices de synthèse

Exercice 32 Les sphères

Calcul

Cet exercice introduit une notion qui ne figure pas au programme, mais qui se déduit entièrement de la formule de distance entre deux points : l'équation cartésienne d'une sphère. Aucune connaissance nouvelle n'est nécessaire, seulement les outils du chapitre.

On rappelle que la sphère de centre Ω\Omega et de rayon R>0R>0 est l'ensemble des points MM de l'espace tels que ΩM=R\Omega M=R.

Partie A : de la définition à l'équation

1. Soit 𝒮\mathcal{S} la sphère de centre Ω(1 ;2 ;−1)\Omega(1\,;2\,;-1) et de rayon 33. Traduire la condition ΩM=3\Omega M=3 à l'aide de la formule donnant la distance entre deux points.

2. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré. En déduire que M(x ;y ;z)M(x\,;y\,;z) appartient à 𝒮\mathcal{S} si et seulement si : (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=9(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=9

3. Développer et réduire cette égalité pour obtenir une équation de la forme x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0.

4. Écrire, sans calcul supplémentaire, l'équation de la sphère de centre Ω(x0 ;y0 ;z0)\Omega(x_{0}\,; y_{0}\,;z_{0}) et de rayon RR sous la forme développée.

Partie B : reconnaître une sphère

Le problème réciproque est plus délicat : toute équation de la forme x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0 n'est pas nécessairement celle d'une sphère. Pour trancher, on regroupe les termes et on utilise les identités remarquables, exactement comme pour la forme canonique d'un trinôme.

5. Vérifier que x2−6x=(x−3)2−9x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, puis, sur le même modèle, écrire y2+4yy^{2}+4y et z2−2zz^{2}-2z sous forme canonique.

6. En déduire que l'ensemble des points M(x ;y ;z)M(x\,;y\,;z) tels que x2+y2+z2−6x+4y−2z+5=0x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y-2z+5=0 est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

7. Procéder de même avec l'équation   x2+y2+z2−4x+2y−6z+14=0\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-6z+14=0. Que constate-t-on ?

8. Procéder enfin de même avec   x2+y2+z2−2x+4y+9=0\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+9=0. Conclure.

9. Résumer en une phrase les trois cas possibles pour un tel ensemble de points.

Corrigé

Partie A

1. La distance entre Ω(1 ;2 ;−1)\Omega(1\,;2\,;-1) et M(x ;y ;z)M(x\,;y\,;z) vaut (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}}, donc : M∈𝒮  ⟺  (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=3\boxed{M\in\mathcal{S} \iff \sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}}=3}

2. Les deux membres étant positifs, l'élévation au carré est une équivalence : (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=9\boxed{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=9}

3. On développe chaque carré : x2−2x+1+y2−4y+4+z2+2z+1=9x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4+z^{2}+2z+1=9

x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0\boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+2z-3=0}

4. Le même calcul avec un centre et un rayon quelconques donne : (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

x2+y2+z2−2x0x−2y0y−2z0z+x02+y02+z02−R2=0\boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y-2z_{0}z+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-R^{2}=0} On retiendra que les coefficients de xx, yy et zz valent −2-2 fois les coordonnées du centre.

Partie B

5. (x−3)2−9=x2−6x+9−9=x2−6x(x-3)^{2}-9=x^{2}-6x+9-9=x^{2}-6x : l'égalité est bien vérifiée.

De même :   y2+4y=(y+2)2−4  \;y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4\; et   z2−2z=(z−1)2−1\;z^{2}-2z=(z-1)^{2}-1.

6. En regroupant : (x−3)2−9+(y+2)2−4+(z−1)2−1+5=0  ⟺  (x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=9(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+(z-1)^{2}-1+5=0 \iff (x-3)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}=9

C’est la spheˋre de centre (3 ;−2 ;1) et de rayon 3.\boxed{\text{C'est la sphère de centre } (3\,;-2\,;1) \text{ et de rayon } 3.}

7. x2−4x=(x−2)2−4x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,   y2+2y=(y+1)2−1\;y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1 et   z2−6z=(z−3)2−9\;z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9, d'où : (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2−4−1−9+14=0  ⟺  (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=0(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}-4-1-9+14=0 \iff (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=0 Une somme de trois carrés est nulle si et seulement si chacun l'est : L’ensemble se reˊduit au seul point (2 ;−1 ;3).\boxed{\text{L'ensemble se réduit au seul point } (2\,;-1\,;3).}

8. x2−2x=(x−1)2−1x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1 et y2+4y=(y+2)2−4y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4, d'où : (x−1)2+(y+2)2+z2−1−4+9=0  ⟺  (x−1)2+(y+2)2+z2=−4(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}-1-4+9=0 \iff (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=-4 Une somme de carrés ne peut être négative : L’ensemble est vide.\boxed{\text{L'ensemble est vide.}}

9. Après mise sous forme canonique, on aboutit à (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=k(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=k, et : si k>0: une spheˋre de centre (x0;y0;z0) et de rayon k;si k=0: un unique point ;si k<0: l’ensemble vide.\boxed{\begin{array}{l} \text{si } k>0 : \text{ une sphère de centre } (x_{0};y_{0};z_{0}) \text{ et de rayon } \sqrt{k} ; \\[1mm] \text{si } k=0 : \text{ un unique point ;} \\[1mm] \text{si } k<0 : \text{ l'ensemble vide.} \end{array}}

Énoncé PDF, p. 13Corrigé PDF, p. 24Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Distances et boulesProduit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

norme et distance, équation cartésienne de plan, sphère

Notions

norme

Ouvrir dans l'atlas interactif →