ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Exercices de synthèse

Exercice 33 Sphères et plans

ProblèmeDémonstrationCalcul

On réutilise dans cet exercice la notion introduite à l'exercice 32.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x\,;y\,;z)$ vérifiant : $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+5=0$

1. Démontrer que $\mathcal{S}$ est une sphère, dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $R$ .

2. Le point $A(1\,;1\,;3)$ appartient-il à $\mathcal{S}$  ? Et le point $B(0\,;0\,;0)$  ?

3. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $\;2x-y+2z-7=0$ . Calculer la distance de $\Omega$ à $\mathcal{P}$ .

4. En comparant cette distance au rayon, justifier que $\mathcal{P}$ coupe $\mathcal{S}$ .

On admettra que l'intersection est alors un cercle, dont le centre est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{P}$ .

5. Déterminer les coordonnées du centre $\omega$ de ce cercle.

6. Soit $M$ un point de ce cercle. Justifier que le triangle $\Omega\omega M$ est rectangle en $\omega$ , puis, à l'aide du théorème de Pythagore, calculer le rayon $r$ du cercle.

7. Soit $\mathcal{P}'$ le plan d'équation $\;2x-y+2z-19=0$ . Calculer la distance de $\Omega$ à $\mathcal{P}'$ et en déduire la position relative de $\mathcal{P}'$ et de $\mathcal{S}$ .

8. Déterminer alors les coordonnées de leur unique point commun.

9. Soit $\mathcal{P}''$ le plan d'équation $\;2x-y+2z-25=0$ . Quelle est sa position relative avec $\mathcal{S}$  ?

10. Déterminer toutes les valeurs du réel $k$ pour lesquelles le plan d'équation $2x-y+2z+k=0$ est tangent à $\mathcal{S}$ .

Corrigé

1. On met sous forme canonique : $(x-1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4+(z-3)^{2}-9+5=0 \iff (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=9$

\boxed{\mathcal{S} \text{ est la sphère de centre } \Omega(1\,;-2\,;3) \text{ et de rayon } R=3.}

2. $\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$ donne $\Omega A=3=R$ , donc $\boxed{A\in\mathcal{S}}$ .

$\overrightarrow{\Omega B}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$ donne $\Omega B=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\neq 3$ , donc $\boxed{B\notin\mathcal{S}}$ .

3. $d(\Omega,\mathcal{P})=\dfrac{|2+2+6-7|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{3}{3}=\boxed{1}$

4. Cette distance $1$ est strictement inférieure au rayon $3$ : le plan passe donc à l'intérieur de la sphère. $\boxed{\mathcal{P} \text{ coupe } \mathcal{S} \text{ selon un cercle.}}$

5. La droite passant par $\Omega$ et dirigée par $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est $(1+2t\,;-2-t\,;3+2t)$ . En reportant dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $2(1+2t)-(-2-t)+2(3+2t)-7=9t+3=0 \iff t=-\frac{1}{3}$

\boxed{\omega\left(\frac{1}{3}\,;-\frac{5}{3}\,;\frac{7}{3}\right)}

6. Le point $\omega$ étant le projeté orthogonal de $\Omega$ , le vecteur $\overrightarrow{\Omega\omega}$ est normal au plan, tandis que $\overrightarrow{\omega M}$ appartient au plan : ces deux vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle est rectangle en $\omega$ . Le théorème de Pythagore donne : $\Omega M^{2}=\Omega\omega^{2}+\omega M^{2} \iff R^{2}=d^{2}+r^{2} \iff 9=1+r^{2}$

\boxed{r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}

7. $d(\Omega,\mathcal{P}')=\dfrac{|2+2+6-19|}{3}=\dfrac{9}{3}=3=R$ .

La distance est exactement égale au rayon : $\boxed{\mathcal{P}' \text{ est tangent à } \mathcal{S} \text{ : ils ont un unique point commun.}}$

8. Ce point est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{P}'$ : $2(1+2t)-(-2-t)+2(3+2t)-19=9t-9=0 \iff t=1$

$\boxed{\text{Le point de tangence est } (3\,;-3\,;5).}$ Vérification : $\overrightarrow{\Omega M}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ a bien pour norme $3=R$ .

9. $d(\Omega,\mathcal{P}'')=\dfrac{|2+2+6-25|}{3}=\dfrac{15}{3}=5>3=R$ : $\boxed{\mathcal{P}'' \text{ ne rencontre pas } \mathcal{S}.}$

10. Le plan est tangent si et seulement si la distance du centre vaut exactement $R$ : $\frac{|2\times 1-(-2)+2\times 3+k|}{3}=3 \iff |10+k|=9 \iff 10+k=9 \text{ ou } 10+k=-9$

$\boxed{k=-1 \quad\text{ou}\quad k=-19}$ Interprétation : ces deux plans sont parallèles et situés de part et d'autre de la sphère, qu'ils touchent chacun en un point ; ils sont distants de $2R=6$ .

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

repère, coordonnées, orthogonalité, positions relatives, intersection, projeté orthogonal, sphère

Notions

produit scalaire