Exercice 34

1. $\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$ sont respectivement colinéaires à $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$ et $\vec{k}$, qui forment une base de l'espace : ils ne sont donc pas coplanaires. $$\boxed{O,\ A,\ B \text{ et } C \text{ forment un tétraèdre.}}$$

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$, d'où $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-6+6+0=0 \qquad\text{et}\qquad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$$ $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : c'est un vecteur normal. L'équation est de la forme $6x+3y+2z+d=0$, et avec $A(1\,;0\,;0)$ : $6+d=0$. $$\boxed{(ABC) : 6x+3y+2z-6=0}$$

3. $\|\vec{n}\|=\sqrt{36+9+4}=7$, donc $d\big(O,(ABC)\big)=\dfrac{|-6|}{7}=\boxed{\dfrac{6}{7}}$

4. La droite passant par $O$ et dirigée par $\vec{n}$ est $(6t\,;3t\,;2t)$. En reportant : $$36t+9t+4t-6=49t-6=0 \iff t=\frac{6}{49}$$

$$\boxed{H\left(\frac{36}{49}\,;\frac{18}{49}\,;\frac{12}{49}\right)}$$ Vérification : $OH=\frac{6}{49}\times 7=\frac{6}{7}$.

5. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1+0+0=1\neq 0$ ; on vérifie de même que les deux autres produits scalaires ($4$ en $B$ et $9$ en $C$) sont non nuls. $$\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ n'est pas rectangle.}}$$

6. $AB=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ et $AC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, donc $$\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{50}}}$$ Comme un angle de triangle est compris entre $0$ et $180^{\circ}$, son sinus est positif : $$\sin\left(\widehat{BAC}\right)=\sqrt{1-\frac{1}{50}}=\sqrt{\frac{49}{50}} =\boxed{\frac{7}{\sqrt{50}}}$$ L'aire du triangle vaut alors : $$\text{Aire}=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin\left(\widehat{BAC}\right) =\frac{1}{2}\times\sqrt{50}\times\frac{7}{\sqrt{50}}=\boxed{\frac{7}{2}}$$

7. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$, d'aire $\dfrac{1\times 2}{2}=1$. La hauteur correspondante est $[OC]$, de longueur $3$, car $(OC)$ est orthogonale au plan $(OAB)$ : $$V=\frac{1}{3}\times 1\times 3=\boxed{1}$$

8. Avec $ABC$ pour base et $OH$ pour hauteur : $$V=\frac{1}{3}\times\frac{7}{2}\times\frac{6}{7}=\frac{1}{3}\times 3=\boxed{1}$$

$$\boxed{\text{Les deux calculs concordent.}}$$ C'est une vérification particulièrement satisfaisante : elle relie l'aire du triangle $ABC$, obtenue par le produit scalaire, à la distance du point $O$ au plan $(ABC)$, obtenue par la formule du cours. Deux outils très différents du chapitre y donnent le même nombre.