Exercice 16

1. $\boxed{\begin{cases}x=2+t\\y=1-2t\\z=-3+4t\end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

2. $\boxed{\begin{cases}x=2t\\y=0\\z=1-t\end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}$, d'où $\boxed{\begin{cases}x=1+3t\\y=2-2t\\z=5t\end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

4. $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}$, d'où $\boxed{\begin{cases}x=-1+2t\\y=3\\z=2-4t\end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

On remarque que l'ordonnée est constante : tous les points de cette droite ont pour ordonnée $3$, la droite est donc contenue dans le plan d'équation $y=3$, parallèle au plan $(xOz)$.

5. Pour $M(5\,;-5\,;9)$ : la première équation donne $2+t=5$, soit $t=3$. On teste alors les deux autres : $1-2\times 3=-5$ et $-3+4\times 3=9$. Les trois coordonnées conviennent : $$\boxed{M \text{ appartient à la droite.}}$$ Pour $N(4\,;-3\,;1)$ : la première équation donne $t=2$, et $1-4=-3$ convient, mais $-3+8=5\neq 1$ : $$\boxed{N \text{ n'appartient pas à la droite.}}$$ Il faut impérativement tester les trois coordonnées avec la même valeur du paramètre.