Exercice 17

1. (a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée est nulle pour l'un et pas pour l'autre), donc $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan.

(b) Voir ci-dessus.

(c) On cherche $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ orthogonal à ces deux vecteurs : $$\begin{cases} -a+2b=0 \\ -a+3c=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=2b \\ a=3c \end{cases}$$ En choisissant $c=2$, on obtient $a=6$ puis $b=3$ : $$\boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}}$$

(d) L'équation est de la forme $6x+3y+2z+d=0$, et avec $A(1\,;0\,;0)$ : $6+d=0$, soit $d=-6$ : $$\boxed{(ABC) : 6x+3y+2z-6=0}$$ Vérifications : pour $B(0\,;2\,;0)$, $6-6=0$ ; pour $C(0\,;0\,;3)$, $6-6=0$.

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$. On cherche $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ : $$\begin{cases} a-b+c=0 \\ -a+2c=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=2c \\ b=a+c=3c \end{cases}$$ En choisissant $c=1$ : $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$. L'équation est de la forme $2x+3y+z+d=0$, et avec $A(1\,;1\,;0)$ : $2+3+d=0$, soit $d=-5$ : $$\boxed{2x+3y+z-5=0}$$ Vérifications : $B$ donne $4+0+1-5=0$ et $C$ donne $0+3+2-5=0$.

3. $D(3\,;-1\,;1)$ : $6-3+1-5=-1\neq 0$, donc $\boxed{D \text{ n'appartient pas au plan.}}$