ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Équations de plans et représentations paramétriques

Exercice 18

Calcul

On considère les points $A(1\,;-1\,;2)$ , $B(3\,;0\,;1)$ et $C(-1\,;-2\,;3)$ .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .

2. Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$  ? Que peut-on en déduire pour les trois points ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D(2\,;1\,;0)$ et parallèle à $(AB)$ .

4. Les droites $(AB)$ et $\Delta$ sont-elles confondues ?

5. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $D$ et orthogonal à la droite $(AB)$ .

Corrigé

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ , d'où $\boxed{(AB) : \begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\\z=2-t\end{cases}}$

2. Pour $C(-1\,;-2\,;3)$ : la première équation donne $1+2t=-1$ , soit $t=-1$ . On vérifie : $-1-1=-2$ et $2+1=3$ . Les trois coordonnées conviennent. $\boxed{C \text{ appartient à } (AB),\ \text{donc } A,\ B \text{ et } C \text{ sont alignés.}}$

3. Une parallèle a le même vecteur directeur : $\boxed{\Delta : \begin{cases}x=2+2t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}}$

4. On teste si $D(2\,;1\,;0)$ appartient à $(AB)$ : la première équation donne $1+2t=2$ , soit $t=\frac{1}{2}$ , mais alors $y=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\neq 1$ . $\boxed{\text{Les droites sont strictement parallèles, donc non confondues.}}$

5. Le plan cherché admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. Son équation est de la forme $2x+y-z+d=0$ , et avec $D(2\,;1\,;0)$ : $4+1-0+d=0$ , soit $d=-5$ : $\boxed{2x+y-z-5=0}$

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

orthogonalité, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, positions relatives

Notions

produit scalaire