Exercice 19

On calcule d'abord $\vec{u}\cdot\vec{n}$. S'il est non nul, la droite perce le plan ; s'il est nul, il reste à tester si un point de la droite appartient au plan.

1. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ donnent $\vec{u}\cdot\vec{n}=1+2-3=0$ : la droite est parallèle au plan ou contenue dedans. Le point $A(2\,;-1\,;0)$ de $\mathcal{D}$ vérifie $2-2-0+1=1\neq 0$ : $$\boxed{\mathcal{D} \text{ est strictement parallèle à } \mathcal{P}.}$$

2. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ donnent $\vec{u}\cdot\vec{n}=2-1+2=3\neq 0$ : la droite et le plan sont sécants. On reporte dans l'équation du plan : $$(1+2t)-t+2(-1+t)-3=0 \iff 3t-4=0 \iff t=\frac{4}{3}$$

3. $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ donnent $\vec{u}\cdot\vec{n}=3-2-1=0$. Le point $A(0\,;1\,;3)$ de $\mathcal{D}$ vérifie $0+1-3+2=0$ : $$\boxed{\mathcal{D} \text{ est contenue dans } \mathcal{P}.}$$