Exercice 15

1. On lit les coefficients de $x$, $y$ et $z$ : $\;\boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}}$

2. On remplace dans l'équation :

• $A(1\,;0\,;3)$ : $3-0+3-6=0$, donc $\boxed{A\in\mathcal{P}}$ ;

• $B(2\,;1\,;1)$ : $6-2+1-6=-1\neq 0$, donc $\boxed{B\notin\mathcal{P}}$ ;

• $C(0\,;-3\,;0)$ : $0+6+0-6=0$, donc $\boxed{C\in\mathcal{P}}$.

3. Sur l'axe des abscisses, $y=z=0$ : $3x-6=0$ donne $\boxed{(2\,;0\,;0)}$.

Sur l'axe des ordonnées, $x=z=0$ : $-2y-6=0$ donne $\boxed{(0\,;-3\,;0)}$.

Sur l'axe des cotes, $x=y=0$ : $z-6=0$ donne $\boxed{(0\,;0\,;6)}$.

4. L'équation est de la forme $3x-2y+z+d=0$, et avec $B(2\,;1\,;1)$ : $$6-2+1+d=0 \iff d=-5 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{3x-2y+z-5=0}$$

5. Le second plan a pour vecteur normal $\vec{n}'\begin{pmatrix}-6\\4\\-2\end{pmatrix}=-2\,\vec{n}$ : les deux vecteurs normaux sont colinéaires, donc $\boxed{\text{les plans sont parallèles.}}$

En multipliant la première équation par $-2$, on obtient $-6x+4y-2z+12=0$, alors que la seconde est $-6x+4y-2z+1=0$. Les constantes diffèrent : $$\boxed{\text{les plans sont strictement parallèles, donc non confondus.}}$$