Exercice 14

Un plan de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ : on lit donc les trois premiers coefficients sur $\vec{n}$, et l'on détermine $d$ en écrivant que le point donné appartient au plan.

1. L'équation est de la forme $2x-y+3z+d=0$. Avec $A(1\,;2\,;-1)$ : $$2-2-3+d=0 \iff d=3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{2x-y+3z+3=0}$$

2. L'équation est de la forme $x+y+z+d=0$, et le plan passe par l'origine, donc $d=0$ : $$\boxed{x+y+z=0}$$

3. L'équation est de la forme $y-z+d=0$ (le coefficient de $x$ est nul). Avec $A(3\,;-2\,;1)$ : $-2-1+d=0$, soit $d=3$ : $$\boxed{y-z+3=0}$$

4. Deux plans parallèles ont le même vecteur normal, donc les mêmes coefficients $a$, $b$ et $c$. L'équation est de la forme $2x+3y-z+d=0$, et avec $A(1\,;1\,;1)$ : $$2+3-1+d=0 \iff d=-4 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{2x+3y-z-4=0}$$

5. Un plan perpendiculaire à une droite admet le vecteur directeur de celle-ci pour vecteur normal. L'équation est de la forme $4x-z+d=0$, et avec $A(0\,;2\,;-3)$ : $$0+3+d=0 \iff d=-3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{4x-z-3=0}$$