Exercice 13

1. La figure est celle d'un pavé droit, obtenue comme le cube mais avec des arêtes de longueurs différentes.

2. Les trois vecteurs $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ et $\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$ sont de norme $1$, et portent trois arêtes issues de $A$ d'un pavé droit : ils sont donc orthogonaux deux à deux. Le repère est orthonormé.

• $A(0\,;0\,;0)$

• $B(4\,;0\,;0)$

• $C(4\,;3\,;0)$

• $D(0\,;3\,;0)$

• $E(0\,;0\,;2)$

• $F(4\,;0\,;2)$

• $G(4\,;3\,;2)$

• $H(0\,;3\,;2)$

3. $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$, donc $AG=\sqrt{16+9+4}=\boxed{\sqrt{29}\approx 5{,}39 \text{ cm}}$

4. $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires. Cherchons un point commun : $(AG)$ est l'ensemble des points $(4t\,;3t\,;2t)$ et $(BH)$ celui des points $(4-4s\,;3s\,;2s)$. L'égalité des deuxièmes coordonnées donne $t=s$, et celle des premières $4t=4-4t$, soit $t=\frac{1}{2}$. Les troisièmes coordonnées coïncident alors. $$\boxed{\text{Les droites sont sécantes au centre } \left(2\,;\frac{3}{2}\,;1\right) \text{ du pavé.}}$$

5. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires. Tout point de $(AB)$ a pour ordonnée $0$, tout point de $(CG)$ a pour ordonnée $3$ : aucun point commun. $$\boxed{\text{Les droites } (AB) \text{ et } (CG) \text{ sont non coplanaires.}}$$ Ce que la figure laissait croire. Sur le dessin, les segments $[AB]$ et $[CG]$ semblent se croiser au voisinage de $B$ : c'est un pur effet de la projection. La droite $(CG)$ passe en réalité derrière $(AB)$.

6. $\cos\left(\widehat{GAB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}}{AG\times AB} =\dfrac{16}{\sqrt{29}\times 4}=\dfrac{4}{\sqrt{29}}\approx 0{,}743$, d'où $$\boxed{\widehat{GAB}\approx 42^{\circ}}$$