ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Représentation dans l'espace

Exercice 12

Calcul

Cet exercice est entièrement graphique. On représentera un plan par un parallélogramme, et l'on fera systématiquement apparaître en pointillés les parties cachées.

1. Reproduire en perspective cavalière un cube $ABCDEFGH$ . Y tracer en couleur la diagonale $(AG)$ , puis le triangle $BDE$ .

2. Dessiner un plan $\mathcal{P}$ , puis, sur la même figure et de trois couleurs différentes :

(a) une droite $d_{1}$ sécante à $\mathcal{P}$ en un point $I$  ;

(b) une droite $d_{2}$ strictement parallèle à $\mathcal{P}$  ;

(c) une droite $d_{3}$ contenue dans $\mathcal{P}$ .

3. Dessiner deux plans sécants, ainsi que leur droite d'intersection.

4. Dessiner deux plans strictement parallèles.

5. Dessiner deux droites non coplanaires. Expliquer en une phrase pourquoi un dessin ne permet jamais, à lui seul, de garantir que deux droites sont non coplanaires.

6. Sur le cube de la question 1, le plan $(BDE)$ coupe le solide selon un triangle. Le tracer en le hachurant.

Corrigé

1. Le cube, la diagonale $(AG)$ en violet et le triangle $BDE$ en ocre. On notera que $[BD]$ et $[DE]$ sont partiellement cachés.

2. Un plan se représente par un parallélogramme. La droite $d_{1}$ le traverse : la partie située derrière le plan est en pointillés. La droite $d_{2}$ passe au-dessus sans le rencontrer. La droite $d_{3}$ est tracée entièrement à l'intérieur du parallélogramme.

3. Deux plans sécants et leur droite d'intersection $\Delta$ :

Convention de dessin : le plan $\mathcal{P}$ étant opaque, la moitié de $\mathcal{P}'$ qui passe en dessous est cachée : on la trace en pointillés. C'est ce contraste qui fait comprendre au lecteur que les deux plans se traversent, et non qu'ils se contentent de se toucher.

4. Deux plans strictement parallèles : aucun point commun, donc aucune droite d'intersection.

5. Deux droites non coplanaires. On matérialise le passage de l'une au-dessus de l'autre par une interruption du tracé.

La façon la plus sûre de représenter deux droites non coplanaires est de s'appuyer sur un solide, dont les arêtes cachées lèvent toute ambiguïté. Sur le cube ci-dessous, $(AB)$ et $(CG)$ conviennent : c'est l'exemple du cours.

Sans solide de référence, on interrompt la droite qui passe derrière, exactement comme pour les arêtes cachées :

Ici $d_{2}$ passe devant $d_{1}$ : c'est donc $d_{1}$ , située derrière, dont le tracé est interrompu. Les deux droites ne se coupent pas.

Pourquoi le dessin ne suffit pas. Un dessin est une projection de l'espace sur une feuille : deux droites qui n'ont aucun point commun peuvent parfaitement avoir des projections qui se coupent. Seul un calcul — la recherche d'un point commun, ou le test de coplanarité des vecteurs — permet de trancher.

6. La section du cube par le plan $(BDE)$ est le triangle équilatéral $BDE$ de l'exercice 10, que l'on a hachuré sur la figure de la question 1.

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases

Thèmes

cube et pavé, colinéarité, coplanarité, perspective cavalière, positions relatives, intersection

Notions

famille libre