Exercice 11

On raisonne sur les coordonnées de l'exercice 1. Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; sinon, elles sont sécantes si elles ont un point commun, et non coplanaires dans le cas contraire.

a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{GH}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}=-\overrightarrow{AB}$ : $\boxed{\text{parallèles}}$, donc coplanaires — elles engendrent le plan $(ABGH)$.

b) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires. Tout point de $(AB)$ a pour ordonnée $0$, tout point de $(CG)$ a pour ordonnée $1$ : elles n'ont aucun point commun. $\boxed{\text{Non coplanaires.}}$

C'est l'exemple du cours : sur la figure, les deux droites semblent se croiser.

c) $\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ : $\boxed{\text{parallèles}}$.

d) $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ : $\boxed{\text{parallèles}}$.

e) $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ : $\boxed{\text{parallèles}}$.

f) $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires. Le point $\Omega\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ appartient aux deux (il correspond au paramètre $\frac{1}{2}$ dans chaque cas) : $$\boxed{\text{sécantes au centre } \Omega \text{ du cube.}}$$

g) $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ : $\boxed{\text{parallèles}}$.

h) $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires. Tout point de $(AE)$ a pour abscisse $0$ et pour ordonnée $0$ ; tout point de $(CD)$ a pour ordonnée $1$ : aucun point commun. $\boxed{\text{Non coplanaires.}}$