Exercice 10

On travaille avec les coordonnées de l'exercice 1.

1. $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AC}=1+1+0=\boxed{2} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}=1+0+0=\boxed{1}$$

2. $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$, donc $$BD=DE=BE=\sqrt{2}$$

$$\boxed{BDE \text{ est un triangle équilatéral de côté } \sqrt{2}.}$$ Ce sont trois diagonales de faces du cube, toutes de même longueur.

3. $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=\boxed{0}$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=\boxed{0}$.

Le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Tout vecteur de ce plan étant combinaison linéaire de ces deux-là, $\overrightarrow{AG}$ leur est orthogonal à tous : $$\boxed{(AG) \text{ est orthogonale au plan } (BDE),\ \text{et } \overrightarrow{AG} \text{ en est un vecteur normal.}}$$

4. $\cos\left(\widehat{GAB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}}{AG\times AB} =\dfrac{1}{\sqrt{3}\times 1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577$, d'où $$\boxed{\widehat{GAB}\approx 55^{\circ}}$$

5. $\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ : $$AF=AH=FH=\sqrt{2}$$

$$\boxed{\text{Oui, } AFH \text{ est équilatéral}}$$ pour la même raison qu'à la question 2 : ses trois côtés sont des diagonales de faces.