ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Produit scalaire, normes et distances

Exercice 9

DémonstrationCalcul

Dans cet exercice, aucune coordonnée n'est donnée : on utilisera uniquement les identités liées à la norme.

1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\|=4$ , $\|\vec{v}\|=3$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-5$ . Calculer $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ , $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ et $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ .

2. Vérifier sur cet exemple l'identité du parallélogramme.

3. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\|=2$ , $\|\vec{v}\|=5$ et $\|\vec{u}+\vec{v}\|=6$ . Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ .

4. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de même norme. Démontrer que $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux. Quelle propriété du parallélogramme retrouve-t-on ainsi ?

Corrigé

1. On applique directement les identités du cours : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=16+2\times(-5)+9=15 \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{15}}$

\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=16-2\times(-5)+9=35 \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{35}}

(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=16-9=\boxed{7}

2. L'identité du parallélogramme affirme que $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=2\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\right)$ : $15+35=50 \qquad\text{et}\qquad 2(16+9)=50 \qquad \boxed{\text{l'identité est vérifiée.}}$

3. De $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}$ on tire : $36=4+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+25 \iff 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=7 \iff \boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{7}{2}}$ Puis $\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=4-7+25=22$ , soit $\boxed{\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{22}}$ .

4. Supposons $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|$ . Alors : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0$

$\boxed{\vec{u}+\vec{v} \text{ et } \vec{u}-\vec{v} \text{ sont orthogonaux.}}$ Interprétation. Dans le parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , les diagonales sont portées par $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ . Dire que les quatre côtés ont la même longueur, c'est dire que le parallélogramme est un losange : on retrouve donc que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

colinéarité, produit scalaire, orthogonalité, norme et distance, identité du parallélogramme

Notions

famille libre, norme, produit scalaire