Exercice 8

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, d'où $$AB=\sqrt{4+1+4}=3 \qquad AC=\sqrt{1+4+4}=3 \qquad BC=\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2+2-4=0$$ Le produit scalaire est nul et les deux côtés issus de $A$ sont de même longueur : $$\boxed{ABC \text{ est un triangle rectangle isocèle en } A.}$$ Vérification par Pythagore : $3^{2}+3^{2}=18=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}$.

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}$, d'où $$AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \qquad AC=\sqrt{11} \qquad BC=\sqrt{11}$$ Deux côtés ont la même longueur : $$\boxed{ABC \text{ est isocèle en } C.}$$ Il n'est pas rectangle : $AC^{2}+BC^{2}=22\neq 12$, et aucun autre couple ne convient.

3. $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}$, donc $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3-1+3=5$ et $$\cos\left(\widehat{ACB}\right)=\frac{5}{\sqrt{11}\times\sqrt{11}}=\frac{5}{11} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\widehat{ACB}\approx 63^{\circ}}$$

4. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs étant égaux : $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme.}}$$ Pour savoir s'il s'agit d'un losange, on compare deux côtés consécutifs : $$AB=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} \qquad\text{et}\qquad BC=\left\|\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\right\|=3$$ Ces longueurs diffèrent : $\boxed{ABCD \text{ n'est pas un losange.}}$