Exercice 7

1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

(a) $3-2-1=0$ : $\;\boxed{\text{orthogonaux}}$

(b) $2+0-3=-1\neq 0$ : $\;\boxed{\text{non orthogonaux}}$

(c) $-6+2+4=0$ : $\;\boxed{\text{orthogonaux}}$

2. $\vec{u}\cdot\vec{v}=3m-2+2=3m$, qui s'annule pour $\boxed{m=0}$.

3. $\vec{u}\cdot\vec{v}=2+3m-2m=m+2$, qui s'annule pour $\boxed{m=-2}$.

4. On cherche $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ vérifiant les deux conditions : $$\begin{cases} \vec{n}\cdot\vec{u}=a+b=0 \\ \vec{n}\cdot\vec{v}=b+c=0 \end{cases} \iff \begin{cases} b=-a \\ c=-b=a \end{cases}$$ Il suffit de choisir une valeur non nulle de $a$, par exemple $a=1$ : $$\boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} \text{ convient}}$$ Vérification : $1-1+0=0$ et $0-1+1=0$. Tout vecteur colinéaire à $\vec{n}$ convient également : il y en a une infinité.