Exercice 6

1. Le repère étant orthonormé, on applique $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ : $$\vec{u}\cdot\vec{v}=2-4-6=\boxed{-8} \qquad \vec{u}\cdot\vec{w}=0-3+3=\boxed{0} \qquad \vec{v}\cdot\vec{w}=0+12-2=\boxed{10}$$

2. $\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+9}=\boxed{\sqrt{14}}$ $\|\vec{v}\|=\sqrt{1+16+4}=\boxed{\sqrt{21}}$ $\|\vec{w}\|=\sqrt{0+9+1}=\boxed{\sqrt{10}}$

3. Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{w}$ est nul : $$\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{w} \text{ sont orthogonaux}}$$ Les deux autres produits ne le sont pas.

4. Première méthode : $\vec{v}+\vec{w}\begin{pmatrix}1\\7\\-1\end{pmatrix}$, donc $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=2-7-3=-8$.

Seconde méthode : par bilinéarité, $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=-8+0=-8$. $$\boxed{\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=-8}$$

5. Par les coordonnées : $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}$, donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$.

Par l'identité : $$\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} =14+2\times(-8)+21=19$$