Exercice 5

1. (a) $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires. On cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$ : $$\begin{cases} 3=a \\ 1=b \\ 5=a+2b \end{cases}$$ Les deux premières donnent $a=3$ et $b=1$. Test dans la troisième : $3+2=5$, vérifié. $$\boxed{\text{Les trois vecteurs sont coplanaires, et } \vec{u}=3\vec{v}+\vec{w}.}$$

(b) $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires : $$\begin{cases} 2=a \\ -1=a+b \\ 4=2b \end{cases}$$ Les deux premières donnent $a=2$ et $b=-3$. Test dans la troisième : $2\times(-3)=-6\neq 4$. $$\boxed{\text{Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.}}$$

(c) $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires : $$\begin{cases} 1=2a \\ -1=a+3b \\ 2=-4b \end{cases}$$ La première donne $a=\frac{1}{2}$, la troisième $b=-\frac{1}{2}$. Test dans la deuxième : $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$, vérifié. $$\boxed{\text{Les trois vecteurs sont coplanaires.}}$$

2. Quatre points sont coplanaires si et seulement si les trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ le sont. Ici $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ : $$\begin{cases} 0=-a-b \\ 1=a \\ -1=b \end{cases}$$ Les deux dernières donnent $a=1$ et $b=-1$. Test dans la première : $-1+1=0$, vérifié. $$\boxed{\text{Les quatre points sont coplanaires.}}$$

3. Cette fois $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$, d'où $a=1$, $b=1$ et, dans la première équation, $-1-1=-2\neq 0$ : $$\boxed{\text{Les quatre points ne sont pas coplanaires.}}$$

4. Ici la méthode ne s'applique pas telle quelle, car $\vec{v}=2\vec{u}$ : les deux premiers vecteurs sont colinéaires. Mais c'est justement ce qui permet de conclure immédiatement.

En effet, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ayant la même direction, il suffit d'un plan contenant cette direction et celle de $\vec{w}$ pour les contenir tous les trois. $$\boxed{\text{Les trois vecteurs sont coplanaires.}}$$ Le cours le signalait : deux vecteurs colinéaires sont toujours coplanaires avec n'importe quel troisième.