ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Repères, bases et coordonnées

Exercice 4

Calcul

1. Dans chaque cas, dire si les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires.

a) u⃗(2−13)\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}, v⃗(−63−9)\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}

b) u⃗(12−1)\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v⃗(36−2)\vec{v}\begin{pmatrix}3\\6\\-2\end{pmatrix}

c) u⃗(04−2)\vec{u}\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}, v⃗(0−63)\vec{v}\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}

2. Les points A(1 ;2 ;3)A(1\,;2\,;3), B(3 ;5 ;1)B(3\,;5\,;1) et C(7 ;11 ;−3)C(7\,;11\,;-3) sont-ils alignés ?

3. Même question avec A(0 ;1 ;2)A(0\,;1\,;2), B(2 ;3 ;1)B(2\,;3\,;1) et C(−2 ;−1 ;4)C(-2\,;-1\,;4).

4. Déterminer le réel mm pour que u⃗(m2−1)\vec{u}\begin{pmatrix}m\\2\\-1\end{pmatrix} et v⃗(6−42)\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-4\\2\end{pmatrix} soient colinéaires.

5. On donne les points suivants : A(1 ;0 ;1)B(3 ;2 ;−1)C(0 ;0 ;0)D(−1 ;−1 ;1)A(1\,;0\,;1) \qquad B(3\,;2\,;-1) \qquad C(0\,;0\,;0) \qquad D(-1\,;-1\,;1) Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles parallèles ? Sont-elles confondues ?

Corrigé

1. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

(a) v⃗=−3 u⃗\vec{v}=-3\,\vec{u} :   colineˊaires\;\boxed{\text{colinéaires}}

(b) Le coefficient serait 33 d'après les deux premières coordonnées, mais 3×(−1)=−3≠−23\times(-1)=-3\neq -2 :   non colineˊaires\;\boxed{\text{non colinéaires}}

(c) v⃗=−32 u⃗\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\,\vec{u} (la première coordonnée, nulle des deux côtés, ne pose aucune difficulté) :   colineˊaires\;\boxed{\text{colinéaires}}

2. AB→(23−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix} et AC→(69−6)=3 AB→\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\9\\-6\end{pmatrix}=3\,\overrightarrow{AB} : A, B et C sont aligneˊs.\boxed{A,\ B \text{ et } C \text{ sont alignés.}}

3. AB→(22−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix} et AC→(−2−22)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix}. Le coefficient serait −1-1 d'après les deux premières coordonnées, mais −1×(−1)=1≠2-1\times(-1)=1\neq 2 : les trois points ne sont pas aligneˊs.\boxed{\text{les trois points ne sont pas alignés.}}

4. Les deux dernières coordonnées imposent −42=2−1=−2\dfrac{-4}{2}=\dfrac{2}{-1}=-2, donc le coefficient est −2-2 et 6=−2m6=-2m : m=−3\boxed{m=-3}

5. AB→(22−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix} et CD→(−1−11)=−12AB→\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} : les vecteurs directeurs sont colinéaires. (AB) et (CD) sont paralleˋles.\boxed{(AB) \text{ et } (CD) \text{ sont parallèles.}}

Sont-elles confondues ? On teste si CC appartient à (AB)(AB) : AC→(−10−1)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix} n'est pas colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} (la deuxième coordonnée est nulle sans que les autres le soient). Les droites sont strictement paralleˋles.\boxed{\text{Les droites sont strictement parallèles.}}

Énoncé PDF, p. 2Corrigé PDF, p. 2Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases

Thèmes

colinéarité, positions relatives

Notions

famille libre

Ouvrir dans l'atlas interactif →