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ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Repères, bases et coordonnées

Exercice 3

Calcul

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne les points A(1 ;−2 ;3)B(4 ;0 ;−1)C(−2 ;5 ;2)D(0 ;1 ;1)A(1\,;-2\,;3) \qquad B(4\,;0\,;-1) \qquad C(-2\,;5\,;2) \qquad D(0\,;1\,;1)

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, BD→\overrightarrow{BD} et CD→\overrightarrow{CD}.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→+AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},   2AB→−3CD→\;2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD} et   12BD→+AC→\;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}.

3. Déterminer les coordonnées du milieu MM de [AB][AB], puis celles du milieu NN de [CD][CD].

4. Déterminer les coordonnées du point EE tel que ABECABEC soit un parallélogramme.

5. Déterminer les coordonnées du point FF tel que AF→=2AB→−AC→+AD→\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}.

Corrigé

1. On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée : AB→(32−4)AC→(−37−1)BD→(−412)CD→(2−4−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\7\\-1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-4\\1\\2\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}

2. AB→+AC→=(09−5)\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\boxed{\begin{pmatrix}0\\9\\-5\end{pmatrix}} 2AB→−3CD→=(64−8)−(6−12−3)=(016−5)2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}6\\4\\-8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\-12\\-3\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}0\\16\\-5\end{pmatrix}}

12BD→+AC→=(−2121)+(−37−1)=(−51520)\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\7\\-1\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}-5\\\frac{15}{2}\\0\end{pmatrix}}

3. M(52 ;−1 ;1)\boxed{M\left(\dfrac{5}{2}\,;-1\,;1\right)} et N(−1 ;3 ;32)\boxed{N\left(-1\,;3\,;\dfrac{3}{2}\right)}

4. ABECABEC est un parallélogramme si et seulement si AB→=CE→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}, donc E=C+AB→E=C+\overrightarrow{AB} : E(1 ;7 ;−2)\boxed{E(1\,;7\,;-2)}

5. AD→(−13−2)\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}, donc 2AB→−AC→+AD→=(64−8)+(3−71)+(−13−2)=(80−9)2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}6\\4\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-7\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\\-9\end{pmatrix}. En ajoutant à AA : F(9 ;−2 ;−6)\boxed{F(9\,;-2\,;-6)}

Énoncé PDF, p. 1Corrigé PDF, p. 2Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases

Thèmes

repère, coordonnées, milieu, colinéarité

Notions

famille libre

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