ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceTerminale, chapitre 4 — Géométrie dans l'espace · Repères, bases et coordonnées

Exercice 2

Calcul

On reprend le cube de l'exercice 1 et la base (AB→,AD→,AE→)\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right). Décomposer sur cette base chacun des vecteurs suivants, en détaillant l'utilisation de la relation de Chasles.

a) AG→\overrightarrow{AG}

b) BH→\overrightarrow{BH}

c) CE→\overrightarrow{CE}

d) DF→\overrightarrow{DF}

e) AC→\overrightarrow{AC}

f) BD→\overrightarrow{BD}

g) EC→\overrightarrow{EC}

h) FH→\overrightarrow{FH}

i) AI→\overrightarrow{AI} (II centre de EFGHEFGH)

Corrigé

On utilise systématiquement la relation de Chasles, ainsi que les égalités BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, CG→=AE→\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}, etc., qui traduisent le parallélisme des arêtes.

a) AG→=AB→+BC→+CG→=AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

b) BH→=BA→+AD→+DH→=−AB→+AD→+AE→\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\boxed{-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

c) CE→=CB→+BA→+AE→=−AB→−AD→+AE→\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\boxed{-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

d) DF→=DA→+AB→+BF→=AB→−AD→+AE→\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

e) AC→=AB→+BC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}

f) BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\boxed{-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}

g) EC→=EA→+AB→+BC→=AB→+AD→−AE→\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}}

h) FH→=FE→+EH→=−AB→+AD→\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EH}=\boxed{-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}

i) AI→=AE→+EI→=AE→+12EG→=12AB→+12AD→+AE→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG} =\boxed{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

On remarque que FH→=BD→\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD} : les deux diagonales sont portées par des faces parallèles, ce que la décomposition rend évident.

Énoncé PDF, p. 1Corrigé PDF, p. 1Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases

Thèmes

cube et pavé, base, relation de chasles

Notions

base (algèbre linéaire)

Ouvrir dans l'atlas interactif →