Exercice 36

1. On applique l'identité du parallélogramme $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=2\|\vec{u}\|^{2}+2\|\vec{v}\|^{2}$ aux vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Comme $I$ est le milieu de $[BC]$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, et par la relation de Chasles $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Il vient $4AI^{2}+BC^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}$, d'où le théorème de la médiane : $$\boxed{AI^{2}=\frac{AB^{2}+CA^{2}}{2}-\frac{BC^{2}}{4}}$$ Vérification : avec le triangle $A(0\,;0\,;0)$, $B(2\,;1\,;2)$, $C(1\,;2\,;-2)$ de l'exercice 8, on a $AB^{2}=AC^{2}=9$ et $BC^{2}=18$, donc $AI^{2}=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}$. Le calcul direct avec $I\left(\frac{3}{2}\,;\frac{3}{2}\,;0\right)$ donne bien $\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$. Ce triangle étant rectangle en $A$, on retrouve au passage que la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : $AI=\frac{BC}{2}$.

2. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}$, donc : $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0} \iff 3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0} \iff \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$$ Le point $G$ existe donc, il est unique, et il appartient à la médiane $(AI)$, aux deux tiers en partant de $A$. La relation qui définit $G$ ne change pas lorsqu'on permute les lettres $A$, $B$ et $C$ : le même calcul, mené à partir de $B$ puis de $C$, montre que $G$ appartient aussi aux deux autres médianes. $$\boxed{\text{Les trois médianes sont concourantes en } G.}$$

3. On définit cette fois $G$ par $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Le même calcul qu'à la question 2 donne $$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$$ ce qui prouve que $G$ existe et est unique. Notons $G_A$ le centre de gravité de la face $BCD$ ; la question 2, appliquée au triangle $BCD$, donne $3\overrightarrow{G_AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} =\vec{0}$ après décomposition par Chasles, donc $\overrightarrow{AG_A}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$. En comparant : $$\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\,\overrightarrow{AG_A}$$ Le point $G$ est donc sur la médiane $(AG_A)$, aux trois quarts en partant de $A$, et par symétrie des rôles sur les trois autres médianes.

Pour les bimédianes, notons $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[CD]$. Comme $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$ et $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$, la relation qui définit $G$ devient $2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$ : $G$ est le milieu de $[IJ]$. Il en va de même pour les deux autres couples d'arêtes opposées. $$\boxed{\text{Médianes et bimédianes passent par } G \text{, défini par } \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}.}$$

Sur cette figure, on lit que deux médianes (en ocre) et une bimédiane (en violet) se coupent en $G$, qui est le milieu de $[IJ]$ et se trouve aux trois quarts de chaque médiane en partant du sommet.

Remarque. Le coefficient $\frac{2}{3}$ du triangle devient $\frac{3}{4}$ pour le tétraèdre : dans les deux cas, $G$ est l'isobarycentre des sommets, et l'on devine la règle générale pour $n$ points. L'erreur la plus répandue est de croire que $G$ est aux deux tiers des médianes du tétraèdre, par analogie hâtive avec le triangle.

4. Prenons $G$ pour origine et notons $\vec{a}=\overrightarrow{GA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{GB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{GC}$, $\vec{d}=\overrightarrow{GD}$, de sorte que $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$, et posons $S=\|\vec{a}\|^{2}+\|\vec{b}\|^{2}+\|\vec{c}\|^{2}+\|\vec{d}\|^{2}$.

Bimédianes. Avec les notations de la question 3, $\overrightarrow{GI}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ et $\overrightarrow{GJ}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$, donc $IJ=\|\overrightarrow{GJ}-\overrightarrow{GI}\|=\|\vec{a}+\vec{b}\|$. De même, les deux autres bimédianes ont pour longueurs $\|\vec{a}+\vec{c}\|$ et $\|\vec{a}+\vec{d}\|$. En développant, et en utilisant $\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=-\vec{a}$ : $$\|\vec{a}+\vec{b}\|^{2}+\|\vec{a}+\vec{c}\|^{2}+\|\vec{a}+\vec{d}\|^{2} =3\|\vec{a}\|^{2}+\left(S-\|\vec{a}\|^{2}\right)+2\,\vec{a}\cdot\left(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\right) =S$$

Arêtes. Notons $P$ la somme des six produits scalaires $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\vec{a}\cdot\vec{c}$, …, $\vec{c}\cdot\vec{d}$. D'une part $0=\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\|^{2}=S+2P$, donc $2P=-S$. D'autre part, chaque vecteur apparaît dans trois arêtes, si bien que $$AB^{2}+AC^{2}+AD^{2}+BC^{2}+BD^{2}+CD^{2}=\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2}+\dots+\|\vec{c}-\vec{d}\|^{2} =3S-2P=4S$$ En comparant les deux résultats : $$\boxed{IJ^{2}+I'J'^{2}+I''J''^{2}=\frac{1}{4}\left(AB^{2}+AC^{2}+AD^{2}+BC^{2}+BD^{2}+CD^{2} \right)}$$ où $[I'J']$ et $[I''J'']$ désignent les deux autres bimédianes.

Vérification : dans un tétraèdre régulier d'arête $1$, chaque bimédiane mesure $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (on peut l'inscrire dans un cube d'arête $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ses arêtes étant alors des diagonales de faces, et chaque bimédiane joint alors les centres de deux faces opposées du cube). La somme des carrés des bimédianes vaut $3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, et le quart de la somme des carrés des arêtes vaut $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Remarque. Le choix de l'origine en $G$ est ce qui rend le calcul court : la relation $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$ permet de remplacer toute somme de trois vecteurs par l'opposé du quatrième. C'est un réflexe à acquérir, déjà présent dans la question 2.