Exercice 1

On applique les propriétés algébriques : $\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$, $\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a-b}$ et $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}$.

a) $\mathrm{e}^{3-5}=\boxed{\mathrm{e}^{-2}}$

b) $\mathrm{e}^{2x+x+1}=\boxed{\mathrm{e}^{3x+1}}$

c) $\mathrm{e}^{5x-2x}=\boxed{\mathrm{e}^{3x}}$

d) $\mathrm{e}^{-3x}=\boxed{\mathrm{e}^{-3x}}$

e) $\mathrm{e}^{x-x}=\mathrm{e}^{0}=\boxed{1}$

f) $\mathrm{e}^{(2x+1)-(x-3)}=\boxed{\mathrm{e}^{x+4}}$

g) $\mathrm{e}^{2x-3x}=\boxed{\mathrm{e}^{-x}}$

h) $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\mathrm{e}^{x}=\boxed{\mathrm{e}^{x}+1}$

i) $\boxed{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$

j) voir ci-dessous : $\boxed{4}$

Détail de la question j). On reconnaît l'identité $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$ avec $a=\mathrm{e}^{x}$ et $b=\mathrm{e}^{-x}$ : $$\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}-\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2} =4\times\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=4\,\mathrm{e}^{0}=4$$ Le résultat ne dépend pas de $x$, ce qui n'était pas évident au départ.