Exercice 2

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle est en particulier injective : $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}$ équivaut à $a=b$.

a) $x=\boxed{3}$

b) $2x=x+3$, donc $\boxed{x=3}$

c) $\mathrm{e}^{3x+1}=\mathrm{e}^{0}$ donne $3x+1=0$, donc $\boxed{x=-\dfrac{1}{3}}$

d) $x^{2}-2=-x \iff x^{2}+x-2=0$. Le discriminant vaut $\Delta=1+8=9$, d'où $\boxed{x=1 \text{ ou } x=-2}$

e) $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{2x}$, donc $2x=x+6$ et $\boxed{x=6}$

f) $x^{2}-3x=0 \iff x(x-3)=0$, donc $\boxed{x=0 \text{ ou } x=3}$