Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 5

Fonctions exponentielle et logarithme

40 exercices corrigés · 12   19   6   3

Exponentielle : calculs, équations et dérivées

• Exercice 1 Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes, où x désigne un réel quelconque. a) e^3× e^(-5) b) e^2x× e^(x+1) c) (e^5x)/(e^2x) d)…
• Exercice 2 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. a) e^x= e^3 b) e^2x= e^(x+3) c) e^(3x+1)=1 d) e^x^2-2= e^(-x) e) (e^x)^2= e^(x+6) f) e^x^2-3x=1 On…
• Exercice 3 Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes. a) e^x> e^2 b) e^(2x-1)≤ e^(x+3) c) e^x^2< e^3x d) e^x≥ 1 e) e^(-x)< e^(2x+9) f) (e^x-1) (e^x- e)≤ 0
• Exercice 4 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur l'ensemble indiqué. a) f(x)= e^3x sur ℝ b) f(x)= e^(-2x+1) sur ℝ c)…
• Exercice 5 Pour chacune des fonctions suivantes, définie sur ℝ: calculer f', la factoriser, puis dresser le tableau de variations de f. On rappelle que e^u>0…

Limites et croissances comparées

• Exercice 6 Déterminer les limites suivantes. a) lim _(x→+∞) e^2x b) lim _(x→-∞) e^(3x+1) c) lim _(x→+∞) e^(-x) d) lim _(x→+∞) (e^x-3) e) lim _(x→-∞) (2+ e^x)…
• Exercice 7 Déterminer les limites suivantes, en précisant à chaque fois la forme indéterminée rencontrée et le théorème de croissances comparées utilisé. a)…
• Exercice 8 Méthode: lorsqu'un quotient présente une forme indéterminée, on factorise numérateur et dénominateur par le terme dominant — ici presque toujours…
• Exercice 9 On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=(x+1) e^(-x), et l'on note C sa courbe représentative. 1. Déterminer lim _(x→-∞)f(x). 2.…

Logarithme : calculs, équations et inéquations

• Exercice 10 Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes. a) ln (12)-ln (3) b) ln (2)+ln (50) c) ln (e^3) d) e^(ln (5)) e) ln (1/e) f) 2ln (3)+ln…
• Exercice 11 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. On commencera systématiquement par déterminer la condition d'existence. a) ln (x)=3 b) ln (2x-1)=0 c) ln…
• Exercice 12 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. 1. e^x=5 puis e^(2x-1)=7 2. e^2x-3 e^x+2=0 (on posera X= e^x) 3. e^x+6 e^(-x)=5 (on multipliera d'abord par…
• Exercice 13 Aucune indication n'est donnée dans cet exercice: c'est à vous de reconnaître, pour chaque équation, la méthode qui convient. On n'oubliera jamais…
• Exercice 14 Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes. a) ln (x)<2 b) ln (3x-1)≥ 0 c) e^x>4 d) e^(-2x)≤ 3 e) ln (x)≥ln (2x-3) f) e^x< 1/2 Attention au sens de…
• Exercice 15 1. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que 0,8^(n)≤ 0,001. 2. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que 1,05^(n)≥ 2. 3. Un capital…

Étude de la fonction logarithme

• Exercice 16 Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes. a) f(x)=ln (x-3) b) f(x)=ln (2x+5) c) f(x)=ln (x^2-4) d) f(x)=ln (-x^2+4x)…
• Exercice 17 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'intervalle où elle est définie. a) f(x)=ln (3x+1) b) f(x)=ln (x^2+1) c)…
• Exercice 18 Déterminer les limites suivantes. a) lim _x→ 0^(+)ln (x) b) lim _(x→+∞) (ln (x))/(x^2) c) lim _x→ 0^(+)x^2ln (x) d) lim _(x→+∞) (x-ln (x)) e) lim…
• Exercice 19 On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x-ln (x). 1. Déterminer lim _x→ 0^(+)f(x). 2. Déterminer lim _(x→+∞)f(x). On factorisera par…
• Exercice 20 On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ par g(x)= (ln (x))/x, et l'on note C sa courbe représentative. 1. Déterminer les limites de g aux…

Autres exponentielles et logarithmes

• Exercice 21 1. Écrire sous la forme e^(k x) les expressions 2^x, 3^2x et 0,5^x. 2. Calculer, sans calculatrice, log (1000), log (0,01), log (10^(-5)) et log…
• Exercice 22 Les échelles logarithmiques sont partout en sciences: cet exercice en présente trois. 1. Chimie. Le pH d'une solution vaut -log ([ H^(+) ]), où la…

Exercices de synthèse

• Exercice 23 Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.
• Exercice 24 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'énoncé correct. 1. Pour…
• Exercice 25 · Type Bac On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=(2-x) e^x. On a représenté ci-dessous sa courbe C, ainsi que la droite d'équation y=1. 1. Lecture…
• Exercice 26 · Type Bac On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=2ln (x)-x+3. 1. Déterminer lim _x→ 0^(+)f(x). 2. Montrer que f(x)=x ((2ln (x))/x -1+ 3/x)…
• Exercice 27 · Type Bac Après injection, la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient, exprimée en milligrammes, est modélisée par la fonction Q(t)=5…
• Exercice 28 · Type Bac Partie A: une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x)= e^x-x-2, dont la courbe est représentée ci-dessous. 1. Lecture…
• Exercice 29 · Type Bac Une entreprise possède un parc de 100 machines au 1^er janvier 2025. Chaque année, elle met au rebut 20 % de son parc et achète 60 machines neuves.…
• Exercice 30 · L'algorithme de Briggs Henry Briggs, cité dans l'introduction du cours, a construit ses tables de logarithmes sans calculatrice, à partir d'une seule opération:…
• Exercice 31 · La fonction puissance Le cours a défini a^x= e^(xln (a)) en faisant varier l'exposant. On fixe cette fois l'exposant et l'on fait varier la base. Pour tout réel a et tout…
• Exercice 32 · Les intérêts composés et le nombre e L'introduction du cours signalait que certaines suites d'intérêts composés convergent vers une constante mystérieuse, voisine de 2,718. Cet exercice…

Pour aller plus loin

• Exercice 33 Si m∈ℝ, quel est le nombre de réels x tels que e^x=mx^2 ?
• Exercice 34 1. Étudier la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln (1+ e^x). 2. Montrer que f(x)-x tend vers 0 lorsque x tend vers +∞. Interpréter géométriquement.
• Exercice 35 1. Étudier la fonction f: x↦ (ln (x))/x sur ]0;+∞[. 2. En utilisant la question 1, déterminer les couples (a;b) d'entiers naturels non nuls…
• Exercice 36 Fonctions hyperboliques. Les fonctions ch (cosinus hyperbolique) et sh (sinus hyperbolique) sont définies sur ℝ par: ch(x)= (e^x+ e^(-x))/2 sh(x)=…
• Exercice 37 Caractérisations de l'exponentielle et du logarithme. Partie A. On se propose de déterminer les fonctions f dérivables sur ℝ telles que: pour tous…
• Exercice 38 Les formes indéterminées « 1^∞ » et « 0^0 ». Comme à l'exercice 31, une expression de la forme u(x)^(v(x)), avec u(x)>0, désigne e^(v(x)ln (u(x))).…
• Exercice 39 Montrer que, pour tout entier n≥ 1 et tout réel x∈[0;2[: (1+ x/n)^n≤ (2+x)/(2-x)
• Exercice 40 L'inégalité arithmético-géométrique. 1. Soient n≥ 1 un entier et x_1, x_2, …, x_n des réels strictement positifs. Montrer que (x_1x_2… x_n)^ 1/n ≤…