Exercice 13

a) $3x=\ln(4)$, donc $\boxed{x=\dfrac{\ln(4)}{3}}$

b) $x+1=2-x$, donc $\boxed{x=\dfrac{1}{2}}$

c) $\mathrm{e}^{x}=\dfrac{1}{3}$, donc $x=\ln\left(\frac{1}{3}\right)=\boxed{-\ln(3)}$

d) C.E. : $x>-\dfrac{1}{2}$. Alors $2x+1=\mathrm{e}^{2}$, donc $\boxed{x=\dfrac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}}$

e) $x^{2}=2x+3 \iff x^{2}-2x-3=0$, de discriminant $16$ : $\boxed{x=3 \text{ ou } x=-1}$

f) Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$, on divise par $\mathrm{e}^{x}$ : $\mathrm{e}^{x}=3$, donc $\boxed{x=\ln(3)}$

g) Avec $X=\mathrm{e}^{x}$ : $X^{2}-5X+6=0$ donne $X=2$ ou $X=3$, d'où $\boxed{x=\ln(2) \text{ ou } x=\ln(3)}$

h) $X^{2}+X-12=0$ donne $X=3$ ou $X=-4$ ; on rejette $-4$ : $\boxed{x=\ln(3)}$

i) En multipliant par $\mathrm{e}^{x}$ : $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}-2=0$, soit $X^{2}-X-2=0$, d'où $X=2$ ou $X=-1$ ; on rejette $-1$ : $\boxed{x=\ln(2)}$

j) C.E. : $x>0$. Alors $\ln(x)=2$ ou $\ln(x)=-2$ : $\boxed{x=\mathrm{e}^{2} \text{ ou } x=\mathrm{e}^{-2}}$

k) C.E. : $x>0$ et $x>2$, soit $x>2$. L'équation devient $x^{2}-2x=3$, soit $x^{2}-2x-3=0$, d'où $x=3$ ou $x=-1$. Seule $\boxed{x=3}$ convient.

l) C.E. : $x>0$. Alors $\ln\left(x^{2}\right)=\ln(x+6)$ donne $x^{2}-x-6=0$, d'où $x=3$ ou $x=-2$. Seule $\boxed{x=3}$ convient.

m) C.E. : $x^{2}-3x>0$, c'est-à-dire $x<0$ ou $x>3$. L'équation donne $x^{2}-3x-4=0$, d'où $x=4$ ou $x=-1$.

Les deux valeurs conviennent, car $-1<0$ et $4>3$ : $$\boxed{x=-1 \text{ ou } x=4}$$ C'est le piège de l'exercice : on rejette d'ordinaire les valeurs négatives, mais ici c'est $x^{2}-3x$, et non $x$, qui doit être strictement positif.

n) C.E. : $x>0$. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $$\mathrm{e}^{x}=2 \text{ ou } \ln(x)=1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{x=\ln(2) \text{ ou } x=\mathrm{e}}$$ Les deux valeurs sont bien strictement positives.

o) On reconnaît une identité remarquable : $\left(\mathrm{e}^{x}-2\right)^{2}=0$, donc $\mathrm{e}^{x}=2$ : $$\boxed{x=\ln(2)}$$ La racine est double, mais l'équation n'a qu'une seule solution.