ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Logarithme : calculs, équations et inéquations

Exercice 14

Calcul

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

a) $\ln(x)<2$

b) $\ln(3x-1)\geqslant 0$

c) $\mathrm{e}^{x}>4$

d) $\mathrm{e}^{-2x}\leqslant 3$

e) $\ln(x)\geqslant\ln(2x-3)$

f) $\mathrm{e}^{x}<\dfrac{1}{2}$

Attention au sens de l'inégalité lorsque l'on divise par un logarithme négatif.

Corrigé

a) C.E. : $x>0$ . Alors $\ln(x)<\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)$ , et par stricte croissance $\boxed{S=\,]0\,;\mathrm{e}^{2}[}$

b) C.E. : $x>\dfrac{1}{3}$ . Alors $3x-1\geqslant 1$ , soit $x\geqslant\dfrac{2}{3}$ : $\boxed{S=\left[\dfrac{2}{3}\,;+\infty\right[}$

c) $\boxed{S=\,]\ln(4)\,;+\infty[}$

d) $-2x\leqslant\ln(3)$ , et en divisant par $-2$ le sens change : $\boxed{S=\left[-\dfrac{\ln(3)}{2}\,;+\infty\right[}$

e) C.E. : $x>0$ et $x>\dfrac{3}{2}$ , soit $x>\dfrac{3}{2}$ . Alors $x\geqslant 2x-3$ , soit $x\leqslant 3$ : $\boxed{S=\left]\dfrac{3}{2}\,;3\right]}$

f) $\boxed{S=\left]-\infty\,;-\ln(2)\right[}$ , car $\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2)$

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 7 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Le logarithme, aire sous l'hyperbole L'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

exponentielle, logarithme, équation, inéquation, inégalité

Notions

exponentielle, logarithme