Exercice 15

Les deux membres étant strictement positifs, on applique le logarithme. On veillera au signe de $\ln(q)$ lorsque $0<q<1$ : la division change alors le sens de l'inégalité.

1. $0{,}8^{\,n}\leqslant 0{,}001 \iff n\ln(0{,}8)\leqslant\ln(0{,}001)$. Comme $\ln(0{,}8)<0$ : $$n\geqslant\frac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}8)}\approx 30{,}96 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{n=31}$$

2. $1{,}05^{\,n}\geqslant 2 \iff n\ln(1{,}05)\geqslant\ln(2)$. Ici $\ln(1{,}05)>0$ : $$n\geqslant\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)}\approx 14{,}21 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{n=15}$$

3. Le capital vaut $3\,000\times 1{,}03^{\,n}$ au bout de $n$ années. On résout : $$3\,000\times 1{,}03^{\,n}>5\,000 \iff 1{,}03^{\,n}>\frac{5}{3} \iff n>\frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1{,}03)}\approx 17{,}28$$

4. La population est multipliée par $0{,}85$ chaque heure. On résout $0{,}85^{\,n}\leqslant 0{,}01$ : $$n\geqslant\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}\approx 28{,}34 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{n=29 \text{ heures.}}$$

5. On résout $0{,}5^{\,n}\leqslant 0{,}01$ : $$n\geqslant\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\approx 6{,}64 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{n=7 \text{ demi-vies, soit } 42 \text{ heures.}}$$