ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Étude de la fonction logarithme

Exercice 16

Calcul

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

a) $f(x)=\ln(x-3)$

b) $f(x)=\ln(2x+5)$

c) $f(x)=\ln\left(x^{2}-4\right)$

d) $f(x)=\ln\left(-x^{2}+4x\right)$

e) $f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)$

f) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$

Corrigé

a) $x-3>0$ : $\boxed{D_{f}=\,]3\,;+\infty[}$

b) $2x+5>0$ : $\boxed{D_{f}=\left]-\dfrac{5}{2}\,;+\infty\right[}$

c) $x^{2}-4>0$ , c'est-à-dire $(x-2)(x+2)>0$ , vrai à l'extérieur des racines : $\boxed{D_{f}=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[}$

d) $-x^{2}+4x>0$ , soit $x(4-x)>0$ , vrai entre les racines : $\boxed{D_{f}=\,]0\,;4[}$

e) Le quotient $\dfrac{x-1}{x+2}$ est strictement positif à l'extérieur de $[-2\,;1]$ : $\boxed{D_{f}=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[}$

f) Il faut $x>0$ pour le logarithme et $x\neq 1$ pour le quotient : $\boxed{D_{f}=\,]0\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[}$

logarithme, ensemble de définition