ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Étude de la fonction logarithme

Exercice 17

Calcul

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'intervalle où elle est définie.

a) $f(x)=\ln(3x+1)$

b) $f(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)$

c) $f(x)=x\ln(x)$

d) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$

e) $f(x)=\left(\ln(x)\right)^{2}$

f) $f(x)=x^{2}\ln(x)$

g) $f(x)=\ln\left(\ln(x)\right)$

h) $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

Corrigé

On applique $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ .

a) $\boxed{\dfrac{3}{3x+1}}$

b) $\boxed{\dfrac{2x}{x^{2}+1}}$

c) $\boxed{\ln(x)+1}$

d) $\boxed{\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}}}$

e) $\boxed{\dfrac{2\ln(x)}{x}}$

f) $\boxed{x\left(2\ln(x)+1\right)}$

g) $\boxed{\dfrac{1}{x\ln(x)}}$

h) $\boxed{\dfrac{-2}{x^{2}-1}}$

Détail de la question h). Plutôt que de dériver un quotient dans un logarithme, on sépare d'abord : $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\ln(x+1)-\ln(x-1) \qquad\text{d'où}\qquad f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{-2}{x^{2}-1}$ C'est presque toujours plus rapide : les propriétés algébriques du logarithme simplifient l'expression avant même de dériver.

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 8 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Le logarithme, aire sous l'hyperbole Opérations sur les fonctions dérivables

Thèmes

logarithme, dérivée

Notions

logarithme, dérivable