Exercice 18

a) $\boxed{-\infty}$ (limite de référence du cours)

b) Croissances comparées : $\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0\times 0=\boxed{0}$

c) $x^{2}\ln(x)=x\times\big(x\ln(x)\big)\longrightarrow 0\times 0=\boxed{0}$

d) $x-\ln(x)=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$. La parenthèse tend vers $1$ : $\boxed{+\infty}$

e) Le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur vers $0^{+}$ : il n'y a pas d'indétermination, $\boxed{-\infty}$

f) $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$. Comme $1+\frac{1}{x}\to 1$ et $\ln(1)=0$ : $\boxed{0}$

g) On pose $X=3x$, qui tend vers $0$ : $\dfrac{\ln(1+3x)}{x}=3\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}\longrightarrow\boxed{3}$

h) On pose $X=\sqrt{x}$, qui tend vers $+\infty$. Alors $x=X^{2}$ et $\ln(x)=2\ln(X)$, d'où $$\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=\frac{2\ln(X)}{X}\longrightarrow 2\times 0=\boxed{0}$$ Le logarithme est donc négligeable même devant $\sqrt{x}$, conformément à la hiérarchie $\ln(x)\ll x^{n}\ll\mathrm{e}^{x}$ du cours.