Exercice 19

1. Quand $x\to 0^{+}$ : $x\to 0$ et $-\ln(x)\to+\infty$, donc $\boxed{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty}$

2. $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$. Par croissances comparées, la parenthèse tend vers $1$, donc $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$$

3. $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\boxed{\dfrac{x-1}{x}}$

4. Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur est positif : $f'$ a le signe de $x-1$.

5. Le minimum de $f$ vaut $f(1)=1$, donc pour tout $x>0$ : $x-\ln(x)\geqslant 1$, soit $$\boxed{\ln(x)\leqslant x-1}$$

6. $$\boxed{\text{La courbe du logarithme reste toujours en dessous de la droite d'équation } y=x-1.}$$ Cette droite est d'ailleurs la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$, puisque $\ln(1)=0$ et $\ln'(1)=1$.