Exercice 20

1. Quand $x\to 0^{+}$ : $\ln(x)\to-\infty$ et $\dfrac{1}{x}\to+\infty$, donc $$\lim_{x\to 0^{+}}g(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=0$$ par croissances comparées. $$\boxed{\text{Asymptote verticale } x=0 \text{ et asymptote horizontale } y=0 \text{ en } +\infty.}$$

2. $g'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}}}$

3. Le dénominateur est positif : $g'$ a le signe de $1-\ln(x)$, positif pour $\ln(x)<1$, c'est-à-dire $x<\mathrm{e}$.

4. Le maximum de $g$ est atteint en $\mathrm{e}$ et vaut $g(\mathrm{e})=\dfrac{\ln(\mathrm{e})}{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ : $$\boxed{\text{pour tout } x>0,\ \frac{\ln(x)}{x}\leqslant\frac{1}{\mathrm{e}}.}$$

5. $g(x)=0$ équivaut à $\ln(x)=0$, soit $\boxed{x=1}$. Le signe de $g$ est celui de $\ln(x)$ : $$\boxed{g<0 \text{ sur } ]0\,;1[ \quad\text{et}\quad g>0 \text{ sur } ]1\,;+\infty[.}$$

6. Comme $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}368>0{,}2$, la valeur $0{,}2$ est bien atteinte. Sur $]0\,;\mathrm{e}]$, $g$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $\frac{1}{\mathrm{e}}$ : d'après le théorème de la bijection, l'équation admet une unique solution. Sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$, $g$ est continue et strictement décroissante de $\frac{1}{\mathrm{e}}$ à $0$, et $0<0{,}2<\frac{1}{\mathrm{e}}$ : une seconde solution. $$\boxed{\text{L'équation } g(x)=0{,}2 \text{ admet exactement deux solutions.}}$$ Valeurs approchées : $x_{1}\approx 1{,}30$ et $x_{2}\approx 12{,}71$.