Exercice 21

1. Par définition, $a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln(a)}$ : $$2^{x}=\boxed{\mathrm{e}^{x\ln(2)}} \qquad 3^{2x}=\boxed{\mathrm{e}^{2x\ln(3)}} \qquad 0{,}5^{x}=\boxed{\mathrm{e}^{x\ln(0{,}5)}=\mathrm{e}^{-x\ln(2)}}$$

2. $\log(1000)=\log\left(10^{3}\right)=\boxed{3}$ $\log(0{,}01)=\log\left(10^{-2}\right)=\boxed{-2}$

$\log\left(10^{-5}\right)=\boxed{-5}$ $\log(1)=\log\left(10^{0}\right)=\boxed{0}$

3. $\left(2^{x}\right)'=\boxed{\ln(2)\,2^{x}}$. Comme $\ln(2)>0$, la fonction est strictement croissante.

$3^{-x}=\mathrm{e}^{-x\ln(3)}$, donc $\left(3^{-x}\right)'=\boxed{-\ln(3)\,3^{-x}}$, négatif : la fonction est strictement décroissante.

4. $2^{x}=5 \iff x\ln(2)=\ln(5) \iff \boxed{x=\dfrac{\ln(5)}{\ln(2)}\approx 2{,}32}$

$0{,}5^{x}\leqslant 0{,}1 \iff x\ln(0{,}5)\leqslant\ln(0{,}1)$. Comme $\ln(0{,}5)<0$, le sens change : $$x\geqslant\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)}\approx 3{,}32 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{S=\left[\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)}\,;+\infty\right[}$$