Exercice 22

1. Chimie.

(a) $\mathrm{pH}=-\log\left(2{,}5\times 10^{-4}\right) =-\left(\log(2{,}5)+\log\left(10^{-4}\right)\right)=-\log(2{,}5)+4\approx\boxed{3{,}6}$

La solution est donc acide.

(b) $\mathrm{pH}=5$ donne $\log\left(\left[\mathrm{H}^{+}\right]\right)=-5$, soit $\boxed{\left[\mathrm{H}^{+}\right]=10^{-5}\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}}$

(c) Diviser la concentration par $10$ retranche $\log(10)=1$ à son logarithme, donc $$\boxed{\text{le pH augmente de } 1.}$$

2. Acoustique.

(a) $L=10\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}}\right)=10\log\left(10^{7}\right) =\boxed{70 \text{ dB}}$

(b) Multiplier $I$ par $100$ ajoute $10\log(100)=20$ : $\boxed{\text{le niveau augmente de } 20 \text{ dB.}}$

(c) Deux sources identiques doublent l'intensité, donc ajoutent $10\log(2)\approx 3$ : $$\boxed{L\approx 73 \text{ dB, et non } 140 \text{ dB.}}$$ Les décibels ne s'additionnent pas : ce sont les intensités qui s'ajoutent, et le logarithme transforme cette somme en une augmentation très modeste.

3. Numération. Un entier $N$ possède $p$ chiffres lorsque $p-1\leqslant\log(N)<p$. $$\log\left(2^{100}\right)=100\log(2)\approx 30{,}10 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{2^{100} \text{ compte } 31 \text{ chiffres.}}$$