ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Exercices de synthèse

Exercice 23

QCMDémonstrationCalcul

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ vaut	$0$	$+\infty$	$1$
2. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm{e}^{x}$ vaut	$0$	$-\infty$	$1$
3. La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{3x}$ est	$3\mathrm{e}^{3x}$	$\mathrm{e}^{3x}$	$3x\,\mathrm{e}^{3x-1}$
4. Pour $a>0$ et $b>0$ , $\ln(a)+\ln(b)$ vaut	$\ln(a+b)$	$\ln(ab)$	$\ln(a)\times\ln(b)$
5. L'ensemble de définition de $x\mapsto\ln(x-2)$ est	$]2\,;+\infty[$	$[2\,;+\infty[$	$\mathbb{R}\setminus\{2\}$
6. La dérivée de $x\mapsto\ln\left(x^{2}+1\right)$ est	$\dfrac{1}{x^{2}+1}$	$\dfrac{2x}{x^{2}+1}$	$2x$
7. $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln(x)$ vaut	$0$	$-\infty$	$1$
8. L'équation $\mathrm{e}^{x}=-3$ admet	une solution	deux solutions	aucune solution
9. Pour tout réel $x$ , $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$ vaut	$\mathrm{e}^{x^{2}}$	$\mathrm{e}^{2x}$	$2\mathrm{e}^{x}$
10. Pour $a>0$ et $x$ réel, $a^{x}$ vaut	$\mathrm{e}^{a\ln(x)}$	$\mathrm{e}^{x\ln(a)}$	$x^{a}$

Corrigé

1. Réponse B. C'est le théorème des croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ .

2. Réponse A. Croissances comparées également, sous la forme $\lim_{x\to-\infty}x^{n}\mathrm{e}^{x}=0$ .

3. Réponse A. $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=3x$ . La réponse C applique à tort la règle des puissances.

4. Réponse B. C'est la propriété fondamentale du logarithme, celle que recherchait Neper : transformer un produit en une somme.

5. Réponse A. Il faut $x-2>0$ , l'inégalité étant stricte puisque $\ln(0)$ n'existe pas.

6. Réponse B. $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1$ . La réponse A oublie le facteur $u'$ .

7. Réponse A. Croissances comparées : $x$ tend vers $0$ plus vite que $\ln(x)$ ne tend vers $-\infty$ .

8. Réponse C. L'exponentielle est strictement positive : elle ne peut jamais valoir $-3$ .

9. Réponse B. $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{2x}$ . La réponse A confond avec $\mathrm{e}^{\left(x^{2}\right)}$ .

10. Réponse B. C'est la définition du cours : dans $a^{x}$ , c'est l'exposant $x$ qui varie, d'où $\mathrm{e}^{x\ln(a)}$ . La réponse A correspondrait à $x^{a}$ .

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Le logarithme, aire sous l'hyperbole L'exponentielle, réciproque du logarithme Inégalités fondamentales et croissances comparées Puissances d'exposant réel Opérations sur les fonctions dérivables Dérivée d'une composée

Thèmes

exponentielle, logarithme, ensemble de définition, dérivée, limite, fonction puissance

Notions

exponentielle, logarithme, dérivable, puissance réelle