ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Exercices de synthèse

Exercice 24

Vrai ou faux

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'énoncé correct.

1. Pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^{x}>0$ .

2. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ , $\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)$ .

3. Pour tout réel $x>0$ , $\mathrm{e}^{\ln(x)}=x$ .

4. Pour tout réel $x$ , $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x$ .

5. La fonction $\ln$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

6. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$ .

7. Si $\ln(a)<\ln(b)$ , alors $a<b$ .

8. La courbe de la fonction $\ln$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ .

9. Les courbes des fonctions $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

10. L'équation $\ln(x)=-5$ n'a pas de solution, car un logarithme est toujours positif.

Corrigé

1. Vraie. C'est une propriété fondamentale de l'exponentielle, qui justifie que le signe de $u'\mathrm{e}^{u}$ ne dépende que de $u'$ .

2. Fausse. La bonne propriété est $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$ . Contre-exemple : $\ln(1+1)=\ln(2)\approx 0{,}69$ , alors que $\ln(1)+\ln(1)=0$ .

3. Vraie. Les deux fonctions se défont l'une l'autre, à condition que $x>0$ .

4. Vraie. Ici aucune condition n'est nécessaire : $\mathrm{e}^{x}$ est toujours strictement positif, donc $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)$ existe pour tout réel $x$ .

5. Fausse. Elle est définie sur $]0\,;+\infty[$ seulement, puisqu'un réel négatif n'a pas d'antécédent par l'exponentielle.

6. Vraie. C'est la proposition 7 du cours : le logarithme croît plus lentement que $x$ .

7. Vraie. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, elle conserve l'ordre — et cela vaut aussi dans l'autre sens.

8. Fausse. On a $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ : la courbe monte indéfiniment, même si elle le fait très lentement. C'est une erreur fréquente, encouragée par l'aspect très aplati de la courbe.

9. Vraie. C'est la conséquence graphique du fait que chacune est la réciproque de l'autre.

10. Fausse. Un logarithme peut parfaitement être négatif : c'est le cas dès que $0<x<1$ . Ici $\ln(x)=-5$ admet la solution $\boxed{x=\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}0067}$ .

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 12 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Le logarithme, aire sous l'hyperbole L'exponentielle, réciproque du logarithme Inégalités fondamentales et croissances comparées

Thèmes

exponentielle, logarithme, limite, asymptote

Notions

exponentielle, logarithme